Bernoulli-Zahlen bestimmen: Wie leitet man die Rekursionsformel für B_{n} her?

Question

Die Bernoulli-Zahlen sind per Definition die reellen Zahlen \(B_0, B_1,B_2,...\) mit:$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}$$ Wie bestimmt man \(B_n\) für \(n=0,1,2,3,4\)?

Ansatz:$$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n} \Longleftrightarrow 1=\frac{e^x-1}{x}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}$$$$\Leftrightarrow 1=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}-1}{x}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}$$$$\Leftrightarrow 1=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}}{x}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}$$$$\Leftrightarrow 1=\left(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{(n+1)!}}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}\right)$$$$\Leftrightarrow 1=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{\frac{B_k}{k!}x^k\cdot \frac{x^{n-k}}{(n-k+1)!}}}$$$$\Leftrightarrow 1=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot x^{n}}{k!(n-k+1)!}}}$$ Ich hätte jetzt hier einen Koeffizientenvergleich gemacht (Identitätssatz für Potenzreihen), geht das? Wir haben ja hier nun eine Kombination aus Reihe und Summe bis \(n\). Kann ich dann einfach \({\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot x^{n}}{k!(n-k+1)!}}}\) separat betrachten und wenn ja, warum?

Answer 1

$$1=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot x^{n}}{k!(n-k+1)!}}}$$

$$\Leftrightarrow 1=\sum_{n=0}^{\infty}x^n{\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot }{k!(n-k+1)!}}}$$

Für n=0 hast du also

1 = Bo / (0!*1!) also  Bo=1

Koeffizientenvergleich für n=1 gibt

$$ 0 = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot }{k!(n-k+1)!}}$$

also 0 = B0 + B1/1 also  B1 = -B0 = -1 .

Und der nächste Koeffizient auf der linken Seite ist wieder 0

und rechts kennst du nun Bo und B1 und kannst damit B2 ausrechnen, etc.

Comments

Warum darf ich die endliche Summe denn separat betrachten? Auf Wikipedia steht, dass \(B_1=\pm 0.5\)

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Deine Umformungen hab ich nicht nachgerechnet. Aber

du hast doch für die 1 eine Potenzreihe, deren Koeffizienten alles

endliche Summen sind; deshalb kann man die dann mittels

Koeffizientenvergleich sukzessive ausrechnen.

Ich sehe gerade, dass was nicht stimmt bei

0 = B0/2! + B1/ 1!

also in der Tat B1 = - Bo/2 = -1/2

Probiere mal die nächsten auf die Art, hoffentlich passt es.

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Alles gut, hatte gerade selbst einen Dreher. Meine Umformungen stimmen, habe noch einmal drübergelesen.