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Die Bernoulli-Zahlen sind per Definition die reellen Zahlen B0,B1,B2,...B_0, B_1,B_2,... mit:xex1=n=0Bnn!xn\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n} Wie bestimmt man BnB_n für n=0,1,2,3,4n=0,1,2,3,4?

Ansatz:xex1=n=0Bnn!xn1=ex1xn=0Bnn!xn\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n} \Longleftrightarrow 1=\frac{e^x-1}{x}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}1=n=0xnn!1xn=0Bnn!xn\Leftrightarrow 1=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}-1}{x}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}1=n=0xn+1(n+1)!xn=0Bnn!xn\Leftrightarrow 1=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}}{x}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}1=(n=0xn(n+1)!)(n=0Bnn!xn)\Leftrightarrow 1=\left(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{(n+1)!}}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_n}{n!}x^n}\right)1=n=0k=0nBkk!xkxnk(nk+1)!\Leftrightarrow 1=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{\frac{B_k}{k!}x^k\cdot \frac{x^{n-k}}{(n-k+1)!}}}1=n=0k=0nBkxnk!(nk+1)!\Leftrightarrow 1=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot x^{n}}{k!(n-k+1)!}}} Ich hätte jetzt hier einen Koeffizientenvergleich gemacht (Identitätssatz für Potenzreihen), geht das? Wir haben ja hier nun eine Kombination aus Reihe und Summe bis nn. Kann ich dann einfach k=0nBkxnk!(nk+1)!{\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot x^{n}}{k!(n-k+1)!}}} separat betrachten und wenn ja, warum?

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1=n=0k=0nBkxnk!(nk+1)!1=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot x^{n}}{k!(n-k+1)!}}}

1=n=0xnk=0nBkk!(nk+1)!\Leftrightarrow 1=\sum_{n=0}^{\infty}x^n{\sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot }{k!(n-k+1)!}}}

Für n=0 hast du also

1 = Bo / (0!*1!) also  Bo=1

Koeffizientenvergleich für n=1 gibt

0=k=0nBkk!(nk+1)! 0 = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{B_k\cdot }{k!(n-k+1)!}}

also 0 = B0 + B1/1 also  B1 = -B0 = -1 .

Und der nächste Koeffizient auf der linken Seite ist wieder 0

und rechts kennst du nun Bo und B1 und kannst damit B2 ausrechnen, etc.

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Warum darf ich die endliche Summe denn separat betrachten? Auf Wikipedia steht, dass B1=±0.5B_1=\pm 0.5

Deine Umformungen hab ich nicht nachgerechnet. Aber

du hast doch für die 1 eine Potenzreihe, deren Koeffizienten alles

endliche Summen sind; deshalb kann man die dann mittels

Koeffizientenvergleich sukzessive ausrechnen.

Ich sehe gerade, dass was nicht stimmt bei

0 = B0/2! + B1/ 1!

also in der Tat B1 = - Bo/2 = -1/2

Probiere mal die nächsten auf die Art, hoffentlich passt es.

Alles gut, hatte gerade selbst einen Dreher. Meine Umformungen stimmen, habe noch einmal drübergelesen.

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