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Aufgabe:

a) Finden Sie alle reellen und (echt) komplexen Nullstellen des Polynoms
$$ p(x)=x^{5}+x^{3}+6 x^{2}+4 x $$
und bestimmen Sie jeweils deren Vielfachheit. Zerlegen Sie damit das Polynom in Faktoren aus \( \mathbb{R}[x] \) vom Grad 1 und \( 2 . \) Hinweis: Einige Nullstellen sind offensichtlich oder leicht zu raten. Führen Sie dann jeweils eine Polynomdivision aus, um den Grad zu reduzieren.

b) Von einem Polynom \( q(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \in \mathbb{R}[x] \) sei bekannt, dass der Grad \( 6, a_{6}=1 \), \( a_{0}=60 \) ist und dass \( q(x) \) keine reellen Nullstellen besitzt. Zeigen Sie, dass \( q(x) \) dann mindestens zwei (komplexe) Nullstellen haben muss, deren Betrag kleiner als 2 ist.

c) Finden (konstruieren) Sie ein Polynom \( s(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} \in \mathbb{R}[x] \) vom Grad 6 mit \( a_{6}=1 \), \( a_{0}=60, \) das höchstens eine (komplexe oder reelle) Nullstelle hat, deren Betrag kleiner als \( 2 \) ist.

von

2 Antworten

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(a)  Die Nullstelle  x1 = 0  ist offensichtlich. Durch Probieren findet man eine weitere Nullstelle  x2 = -1.
Polynomdivision liefert   p(x) = x·(x + 1)·(x3 - x2 + 2x + 4). Erneutes Probieren und Dividieren liefert schließlich
p(x) = x·(x + 1)2·(x2 - 2x + 4).

(b) Seien x1, x2, x3, x4, x5, x6  die Nullstellen von  q(x).
Nach Vieta gilt  x1·x2·x3·x4·x5·x6 = 60.
Es sei angenommen, dass  |xk| ≥ 2  für  k = 1,2,3,4,5,6  gilt.
Dann ist  |x1·x2·x3·x4·x5·x6| ≥ 26 = 64 > 60, was Vieta widerspricht.
Es folgt, dass ein  k ∈ {1,2,3,4,5,6}  existiert mit  |xk| < 2. Die konjugiert komplexe Zahl von  xk  ist bekanntlich ebenfalls Nullstelle  von  q(x). Beide sind, da sie nicht reell sind, verschieden und haben den gleichen Betrag. Damit hat man zwei Nullstellen gefunden, die betragsmäßig kleiner als zwei sind.

(c)  Hier lautet mein Vorschlag:  s(x) = (x - 1)·(x - 601/5)5.

von
Vielen dank, wie kommst du aber bei c) auf s(x) = (x - 1)·(x - 60^{1/5})^5?? Geht man da wie bei b) vor?

Wenn eine Nullstelle den Betrag  1  hat, dann ist das Produkt der Beträge der restlichen  5  Nullstellen gleich  60. Wenn diese alle gleich sind, hat jede einzelne den Betrag  601/5 > 2. Es gibt aber sicher auch andere Lösungen.

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Hallo

a) geht auch prima mit Formel:

- Polynom liegt bereits ohne kubisches Glied vor (nach Division durch x):

x^4 +x^2 +6x +4 = 0

x^4 +a x^2 +b x +c = 0

- Ansatz (x^2 +P)^2 = (Q x +R)^2

P^3 -a/2 P^2 -c P +ac/2 -b^2/8 = 0

P^3 - 1/2 P^2 -4 P +2 -36/8 = 0

(P -1/6)^3 -4 -1/12 (P -1/6) -36/8 -4*1/2/3 -2(1/2/3)^3 = 0

(P -1/6)^3 -49/12 (P -1/6) -343/108 = 0

lineares Glied ist negativ -> cos bzw. cosh benutzen

P1 -1/6 = 2 * (49/12/3)^0.5 * cos 1/3 arccos +(343/108/2) / ((49/12/3)^3)^0.5

P1 -1/6 = 2 * 7/6 * cos 1/3 arccos +(343/216) / (343/216)

P1 = 15/6

x1,2 = -b/|b| * ( -a/4 +P/2 )^0.5 +/- ( -a/4 -P/2 +(P^2 -c)^0.5 )^0.5


x3,4 = +b/|b| * ( -a/4 +P/2 )^0.5 +/- ( -a/4 -P/2 -(P^2 -c)^0.5 )^0.5

x1,2 = -6/|6| * ( -1/4 +15/12 )^0.5 +/- (-1/4 -15/12 +((15/6)^2 -4)^0.5 )^0.5

x1,2 = -6/|6| * ( -3/12 +15/12 )^0.5 +/- (-3/12 -15/12 +(225/36 -144/36)^0.5 )^0.5

x1,2 = - (12/12 )^0.5 +/- (-18/12 +(81/36)^0.5 )^0.5

x1,2 = - (1 )^0.5 +/- (-9/6 +(9/6) )^0.5

x1,2 = - (1 )^0.5 +/- (-9/6 +(9/6) )^0.5

x3,4 = +(1)^0.5 +/- (-9/6 -9/6)^0.5

x1,2 = -1 +/- 0

x3,4 = +1 +/- i * (3^0.5)

von

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