Ortskurve bestimmen mithilfe von Tiefpunkten

Question

 Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ortskurve der Funktion fa(x) = x^4 - ax^2

Problem/Ansatz: Hier meine Versuche, die kommen mir aber nicht ganz richtig vor , könnte mir jemand helfen? Vielen Dank!!

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Wenn eine Ortskurve bestimmt werden soll, muss gesagt werden, welche Punkte die Ortskurve bilden sollen.

Answer 1

fa ( x )  = x^4 -  ax^2
fa ´ ( x )  = 4 x^3 -  2ax
Stellen mit waagerechter Tangente
4 x^3 -  2ax = 0
x * ( 4 x^2 - 2a ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0 ( Hochpunkt )
und
4x^2 - 2a = 0
4x^2 = 2a
x^2 = 0.5 a
x = + ✓( 0.5 a) ( Tiefpunkt )
und
x = - ✓( 0.5 a) ( Tiefpunkt )

für a ≥ 0
f ( ✓( 0.5 a) ) = ( ✓( 0.5 a) )^4 - a * ( ✓( 0.5 a))^2
f ( ✓( 0.5 a) ) = ( 0.5 a)^2 - a *  0.5* a
f ( ✓( 0.5 a) ) = 0.25 a^2 - 0.5 * a^2
f ( ✓( 0.5 a) ) =  - 0.25 * a^2

Ortskurve
y = - 0.25 * a^2
x = ✓( 0.5 a)  => a = 2 * x^2
a einsetzen
y = ort ( x ) = -0..25 * ( - 2 * x^2 )^2
ort ( x ) = -x^4

Graphisch überprüft.

Bei Bedarf nachfragen;

Comments

blau : a = 1
rot a = 2
grün : ortskurve

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Ich bleibe noch bei der Berechnung der Tiefpunkte hängen.

Als Nullstellen der ersten Ableitung bekommt man ja

x=0

x=Wurzel 0,5 a

Jetzt will ich mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmen, ob es ein Tief- oder Hochpunkt ist

Also:

f‘‘a(x) = 12* 0^2 -2a = -2a

D.h. Hochpunkt

f‘‘a(x) = 12*(Wurzel 0,5a)^2 -2a

= 12* +/-0,5a -2a

=12* (-1,5a) v 12* -2,5a

Und da a>0 müsste das Ergebnis ja immer - sein , was also für noch zwei Hochpunkte sprechen oder nicht?

Vielen Dank!!

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fa ´´ ( x )  = 12 x^2 -  2a

f ‘‘a (x) = 12*(+Wurzel 0,5a)^2 -2a
f ´´( x ) = 6a - 2a = 4a ( Tiefpunkt )

f‘‘a(x) = 12* (-Wurzel 0,5a)^2 -2a
f ´´( x ) = 6a - 2a = 4a ( Tiefpunkt )

Answer 2

Ortskurve der Wendepunkte: schwarz g(x)=-5x⁴

Ortskurve der Tiefpunkte: rot g(x)=-x⁴

Wenn du verrätst, welche du brauchst, rechne ich vor.