Lineare Algebra Stochastische MatrizenL Wechselverhalten der Gäste von drei Cafes

Question

Aufgabe: In einer Kleinstadt gibt es drei Cafes. Das Wechselverhalten der Gäste wird mittels des Übergangsmatrix M beschrieben.

M = \( \begin{pmatrix} 0,3 & 0,1 & 0,2 \\ 0,4 & 0,9 & 0,5 \\ 0,3& 0 & 0,3 \end{pmatrix} \)

a) Bestimmen Sie einen Fixvektor

Ansatz:

M • \( \vec{x} \) = \( \vec{x} \)

1. -0,7a +0,1b +0,2c = 0

2. 0,4a-0,1b +0,5c = 0

3. 0,3a + 0b -0,7c = 0

Ich bekomme bei dem LSG was anders raus was die Lösung sagt; sie sagt das der Fixvektor: \( \begin{pmatrix} 0,13\\0,81\\0,06 \end{pmatrix} \) ist

Comments

Vom Duplikat:

Titel: LSG lösen unendliche viele Lösungen

Stichworte: lineare-gleichungssysteme

1. -0,7A+0,1B +0,2C =0

2. 0,4A-0,1B +0,5C = 0

3.  0,3A+0B-0,7C = 0

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Wie oft willst du diese Frage eigentlich noch stellen?

Answer 1

Hast du die Bedingung a+b+c=1 berücksichtigt?

Comments

Ja habe ich, wäre nett wenn einer es kurz nachrechnen würde damit ich sicherheit habe

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So, wie er da steht, ist der Fixvektor falsch. Ob deiner richtig ist, kannst du leicht selbst mit der Einsetzprobe nachrechnen.

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Der richtige Fixvektor ist $$\dfrac{1}{53}\cdot\begin{pmatrix} 7\\43\\3 \end{pmatrix}$$

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kannst du es mir bitte einmal vorrechnen, ich bekomme es nicht raus

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Multipliziere das ganze System mit 10 und rechne dann mit ganzen Zahlen und zum Schluss mit Brüchen ohne jemals zu runden.

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ich bekomme komische Lösungen raus. Bitte rechene es einmal vor und ich gebe dir den besten Orden dafür...

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so also ich habe \( \begin{pmatrix} 7\\43\\3 \end{pmatrix} \) *t

Woher kommt die 1/53

Answer 2

- 0.7·a + 0.1·b + 0.2·c = 0
0.4·a - 0.1·b + 0.5·c = 0
0.3·a - 0.7·c = 0

I + II ; III

0.3·a - 0.7·c = 0
0.3·a - 0.7·c = 0

Weil die Gleichungen linear abhängig sind kann man eine Streichen und hat einen Freiheitsgrad. Ich löse das in Abhängigkeit von c

0.3·a - 0.7·c = 0 --> a = 7/3·c

0.4·(7/3·c) - 0.1·b + 0.5·c = 0 --> b = 43/3·c

Die Lösung ist also a = 7/3·c ; b = 43/3·c ; c als Freiheitsgrad

Jetzt könntest du z.B. c bestimmen sodass a + b + c = 1 gilt.

7/3·c + 43/3·c + c = 1 --> c = 3/53

a = 7/3·3/53 = 7/53

b = 43/3·3/53 = 43/53

c = 3/53

Das wäre jetzt eine stable Verteilung.

Comments

Ich würde erst alle Gleichungen mit 10 multiplizieren.

Dann sieht es angenehmer/vertrauter aus. :)

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Das ist aber stochastische Matrix.

Aber das LGS hat doch unendlich viele Lösungen?

Wie kann man das so schreiben?

also c = t usw.

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Hab ich doch schon geschrieben.

Die Lösung ist also a = 7/3·c ; b = 43/3·c ; c als Freiheitsgrad.

Natürlich kannst du auch c durch t ersetzen, wenn du das schöner findest.

Die Lösung ist also a = 7/3·t ; b = 43/3·t ; c = t als Freiheitsgrad.

Ändern tut sich dadurch aber nichts wie du siehst.