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Hey

Die Aufgabe lautet : Der Graph der natürlichen Exponentialfunktion schließt mit der Tangente im Punkt P(2/ f(2)) und den Koordinatenachsen eine Fläche ein.Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.


Als Funktion habe ich f(x)= ex -7,39x-7,39 und als Stammfunktion F(x)= e- 3,695 x2 - 7,39x heraus.Die Grenzen wären dann 0 und 1. Nur mein Ergebnis stimmt nicht.Kann einer mir helfen

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f(x) = f'(x) = e^x

t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2) = e^2·(x - 1)

y-Achsenabschnitt

t(0) = -e^2

Nullstelle

t(x) = e^2·(x - 1) = 0 → x = 1

Dreiecksfläche

A = 1/2·1·e^2 = 1/2·e^2 = 3.695

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Wenn das Ergebnis 3,696 ist ,dann stimmt dies nicht.Es muss 2,69 rauskommen.

Stimmt. Ich hatte ausgerechnet welche Fläche die Tangente mit den Koordinatenachsen einschließt.

Hier die richtige Fläche

A1 = ∫ (0 bis 2) e^x dx = e^2 - 1

A2 = ∫ (1 bis 2) (e^2·(x - 1)) dx = e^2/2

A = A1 - A2 = e^2 - 1 + e^2/2 = e^2/2 - 1 = 2.694528049

Hier eine Skizze der Fläche:

blob.png

Aber warum nimmt man denn jetzt 1 und 2 als Intervall?Die Fläche ist dann doch außerhalb

Ich nehme die Fläche unter der e-Funktion im Intervall [0 ; 2] und ziehe dann die Fläche zwischen Tangente und x-Achse im Intervall [1 ; 2] ab. Das ist einfacher. Weil du dann zwei einfache Funktionen hast.

Ahhhhhhhhh,jetzt habe ich verstanden.          

Prima. Man muss das natürlich nicht so machen, aber ich denke es erleichtert das Rechnen ein wenig.

+1 Daumen

Gleichung der Tangente:

y=e^x

a) 1. Ableitung : y'=e^x

b)y'(2)= y'=e^2 =m

c)  2 in die Aufgabe(y=e^x) einsetzen :

y=e^2

d)y=mx+b

e^2= e^2 *2 +b

- e^2= b

->

Gleichung der Tangente :

y=e^2 x - e^2 =e^2(x-1)

Avatar von 121 k 🚀

Die Tangentengleichung hatte ich auch raus,nur den Flächeninhalt nicht

.............................

B3.png

Mathecoach hat den Text nicht richtig gelesen und die falsche Fläche berechnet. Die Teilfläche im Intervall [0,1] ist die Fläche zwischen e-Funktion und x-Achse (ca. 1,72 FE), und im Intervall [1,2] liegt die Fläche zwischen Funktion und Tangente (ca. 0,98 FE).


Alternativ kann man die Fläche zwischen Graph und Tangente im Intervall [0,2] berechnen und die Dreiecksfläche im 4. Quadranten subtrahieren.


PS: Der Löwe war schneller...

Wie ist man auf die Werte von A2 gekommen?

Wieso liegt die Fläche im Intervall von 1 bis 2? Laut dem Taschenrechner muss es doch zwischen 0 und ca. 1,5 sein oder?

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