Dreiecksungleichungen beweisen

Question

Für reelle Zahlen a und b sollen wir zeigen:

(1) |a+b| <= |a|+|b|

(2) ||a|-|b|| <= |a-b|

Danke euch schon mal vorab...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zu zeigen: |x-y| >= ||x|-|y||

Stichworte: beweis,betrag,betragsungleichung

Aufgabe: zeigen Sie : |x-y| >= ||x|-|y||

Problem/Ansatz: also ich habe die Ungleichung quadriert und mit der Binomischen Formel weiter gemacht. Am Ende bekomme ich raus xy <= |xy|

Aber irgendwie sieht das für mich nicht aus wie die Lösung des Beweises

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Aloha :)

https://www.mathelounge.de/656679/dreiecksungleichungen-beweisen

Answer 1

Aloha :)

Es ist \(\pm a\le|a|\) und \(\pm b\le|b|\), daher gilt \(a+b\le|a|+|b|\) und \(-(a+b)\le|a|+|b|\), das heißt:

$$|a+b|\le |a|+|b|$$Damit gilt nun aber auch:

$$|a|=|a-b+b|\le|a-b|+|b|\;\Leftrightarrow\;|a|-|b|\le|a-b|$$$$|b|=|b-a+a|\le|b-a|+|a|\;\Leftrightarrow\;|b|-|a|\le|b-a|\;\Leftrightarrow\;-(|a|-|b|)\le|a-b|$$Zusammengefasst heißt das:

$$||a|-|b||\le|a-b|$$