umgekehrte Dreiecksungleichung beweisen: Bsp. ||r|-|s|| ≤ | r-s|

Question

Die umgekehrte Dreiecksungleichung

Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen für alle \( r, s \in \mathbb{R} \)

(a) \( |r|-|s| \leq|r-s| \)
(b) \( |s|-|r| \leq|r-s| \)
(c) ||\( r|-| s|| \leq|r-s| \)

Kann mir jemand freundlicher weise bei dieser Aufgabe helfen? Ich komme hier Leider nicht weiter wie ich hier einen Beweis anführen soll.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie folgenden Satz:

Stichworte: beweis,betrag

Aufgabe:

Beweisen Sie folgenden Satz:

Für alle w,z ∈ ℂ gilt |w+z| ≤ |w| + |z| und |w-z| ≥ ||w|- |z||

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Das ist ein Duplikat eines Duplikats von vorhin. https://www.mathelounge.de/600396/beweisen-sie-fur-alle-w-z-gilt

Habe nun auf eine Frage mit andern Buchstaben umgeleitet, da die vorherige Frage auch schon umgeleitet wird zu https://www.mathelounge.de/96521/dreiecksungleichung-beweisen-komplexen-zahlen

Answer 1

||r|-|s||^2=r^2-2|r||s|+s^2<=r^2-2rs+s^2=(r-s)^2=|r-s|^2

---> ||r|-|s||<=|r-s|

Answer 2

Stell das mal um, dann gibt z.B. die erste

| r| ≤   |s| + | r-s|   und jetzt nimmst du

die "normale" Dreiecksungl

| a+b|   ≤     |a| + | b|   und setzt nur ein

a= s und   b=  r - s   dann hast du

| r| = | s + ( r - s  ) |  ≤     | s |  + | r - s |     q.e.d.