Charakteristische Funktion: Anzahl aller Abbildungen herausfinden.

Question

Aufgabe:

Angenommen: Sei \(X\) eine endliche Menge mit n Elementen,
i) Wieviele Elemente hat die Potenzmenge \(P(X) ?\)
ii) Wie viele Elemente hat die Menge \(\{0,1\}^X ?\)


Wir betrachten Folgende Situation:

Sei \(X\) die Grundmenge und \(T ⊂ X\) eine Teilmenge von \(X.\) (Es geht um die Folgende Zielmenge: \(\{0,1\}^X\) in der Abbildung, die ich nicht verstehe):

φ: P(X) → \(\{0,1\}^X\)
 T ↦ \(\mathbb{1}_T\)


Was ich schon kann:
In einer Abbildung $$ f: X→Y \\ x ↦ f(x) $$
\(X\) der Definitionsbereich ist, und \(Y\) die Zielmenge ist. 

Kann man sagen, dass die Menge aller Abbildungen von \(X\) nach \(Y\), also \(Abb(X,Y)\) wie folgt definiert ist: $$Abb(X,Y) = Y^{x}.$$

Es gilt generell dass |X| < P(X).
Es gilt auch dass |P(X)| = 2|X| .

Frage:
(a) Mich verwirrt die Schreibweise in der Zielmenge, es heisst einfach Null und 1 hoch X aber was ist X?
(b) Ist das X in der Zielmenge die Mächtigkeit von der Menge X ?
(c) Auch in dem Beispiel "Was ich schon weiss" steht einfach Y^X, aber was ist Y bzw. X ? Es müssne doch jeweils immer deren Mächtigkeiten gemeint sein.

Comments

Unterscheide bitte Anzahl und Menge. Menge ist in der Mathematik ein definierter Begriff.

Gefragt ist hier nach der Anzahl der Abbildungen. Habe deine Überschrift korrigiert.

Wo genau siehst du hier eine "Charakteristische Funktion"? Du hast mehrfach a) und b) in deinem Text.

Answer 1

(a) Mich verwirrt die Schreibweise in der Zielmenge, es heißt einfach

Null und 1 hoch X aber was ist X?

Das ist einfach nur eine Schreibweise für

Menge aller Abbildungen von  X in die Menge {0;1}.

siehe http://www.math.tu-dresden.de/~ganter/inf2009/03Diskrete09Drucker.pdf

Seite 7.

Die Schreibweise kommt wohl daher, dass bei endlichen Mengen die

Anzahl der Elemente von B^A eben genau der Potenz der Anzahlen |B|^(|A|) entspricht.

Bei  {0;1}^X betrachtest du also alle Abbildungen, bei denen  jedem x∈X entweder

die 0 oder die 1 zugeordnet wird.

(b) Ist das X in der Zielmenge die Mächtigkeit von der Menge X ?

             Nein (s.o.)

(c) Auch in dem Beispiel "Was ich schon weiss" steht einfach Y^X, aber was ist Y bzw. X ?

Es müssen doch jeweils immer deren Mächtigkeiten gemeint sein. Eben nicht, wohl aber

in den Zeilen darunter:

Es gilt generell dass |X| < |P(X)|.
Es gilt auch dass |P(X)| = 2^|X| .