Anzahl aller (bijektiven, injektiven usw.) Abbildungen von M nach N?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { 5. Bestimmen Sie }} \\ {\text { (a) die Anzahl aller Abbildungen von } M \text { nach } N,} \\ {\text { (b) im Fall } m=n \text { die Anzahl aller bijektiven Abbildungen } f: M \rightarrow N \text { , }} \\ {\text { (c) im Fall } m \leq n \text { die Anzahl aller injektiven Abbildungen } f: M \rightarrow N \text { . }} \\ {\text { Formulieren Sie jeweils eine Behauptung und beweisen Sie diese! }}\end{array} $$

Nachtrag: Seien M eine Menge mit m und N eine Menge mit n Elementen.

Problem/Ansatz:

Also für (a) hab ich das es: n^m Abbildungen gibt.

Ich weiß leider nicht so wirklich wie ich (b) und (c) angehe und es wäre nett wenn mir da einer Helfen könnte und mir sagen kann ob meine Lösung für (a) reicht.

Answer 1

Hallo Steely,

a)  n^m  ist richtig

b) Anzahl der Permutationen (Umordnungen) der Menge N:    \(n!\)

c) du musst aus den n Elementen von N  für die Werte aus M  m Funktionswerte aussuchen und dann deren Permutationen beachten:    \(\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}·m!\)

Gruß Wolfgang

Comments

Meinst du hier mit (a) und (b) auch die jeweiligen Aufgaben der Aufgabe?

Also ist mein Ansatz das bei (a) die Anzahl der Abbildungen gleich dem Betrag von N hoch dem Betrag von M falsch?

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Habe die "Nummerierung" berichtigt.

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Wäre es möglich eine Erklärung für die Lösung von (c) zu bekommen?

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noch eine? :-)

Du brauchst erst einmal m Funktionswerte für die Elemente aus M

die musst du aus den n Werten der Zielmenge N auswählen. dafür gibt es

\(\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}=\dfrac{n!}{m!·(n-m)!}\) Möglichkeiten

Diese Funktionwerte kannst du permutieren (in allen Möglichkeiten umordnen), um sie den Werten aus M zuzuordnen. Dafür gibt es m! Möglichkeiten.

Da jede Auswahl mit jeder zugehörigen Permutation geht, musst du beides multiplizieren. Das ergibt

\(\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}·m!\)   Möglichkeiten (Abbildungen)

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\( \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} ·m!\) ist nur möglich wenn m = n.

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Warum sollte das so sein?

Answer 2

a) Vgl. https://www.mathelounge.de/665082/bestimme-die-anzahl-aller-abbildungen-von-m-nach-n Du musst die Mächtigkeit der Mengen verwenden, nicht die Mengen selbst, wenn du potenzierst. (Inzwischen korrigiert). Bitte Duplikate vermeiden.

Wäre es möglich eine Erklärung für die Lösung von (c) zu bekommen?

In der Bildmenge liegen m verschiedene Funktionswerte. Geht auf (n tief m) Arten.

Diese können beliebig angeordnet sein: Daher m!.

Produktregel. (n tief m) * m!

Comments

Stimmt, bei a) muss es n^m statt  N^M heißen.

Habe das in meiner Antwort geandert.

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Habe das soeben in der Fragestellung korrigiert :)