Folgen, Konvergenz, Konvergenzbeweise x1=1, x_n+1 = x_n/(x_n + 2)

Question

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge

\( x_{1}=1, \quad x_{n+1}=\frac{x_{n}}{x_{n}+2} \quad n=1,2,3,4, \ldots \)

Zeigen Sie folgende Aussagen:

1. Die Folgenglieder sind alle positiv.

2. Die Folge ist monoton fallend.

Folgern Sie daraus, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

Comments

Für die 1 siehe hier: https://www.mathelounge.de/64918/zeigen-definition-konvergenz-folge-folge-gegen-konvergiert#a65466

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ich hab das nicht so verstanden=( , kannst du mir das ausführlicher erklären ?

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Kommentare und Nachfragen zu 1 bitte beim Link.

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Definitions für die Konvergenz einer Folge, dass die Folge
\( \left(\frac{1}{2 n+1}\right) \)
gegen Null konvergiert. Ab welchem Index sind die Folgenglieder kleiner als
\( \varepsilon:=10^{-2} ? \)
Ab) Entscheiden Sie, ob die folgenden Folgen konvergieren. Beweisen Sie dies und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte:
\( \begin{array}{l} \left(a_{n}\right)=\left(\sin \frac{2 n \pi}{5}\right) \\ \left(b_{n}\right)=\left(\frac{n^{10}}{n^{8}-\sin (n)}\right) \\ \left(c_{n}\right)=\left(\frac{-n^{4}+n-1}{n^{4}+2 n-2}\right) \\ \left(d_{n}\right)=\left(\sqrt{n^{4}+n^{2}-1}-\sqrt{n^{4}+1}\right) . \end{array} \)

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2.1. kannst du mit vollständiger Induktion beweisen: x1 = 1 > 0

x_n+1 = x_n/(x_n+ 2)

Wenn n.v. Induktionsschritt x_n > 0, so sind Zähler und Nenner grösser als Null und daher der Quotient auch.

2.2. (Vor. x_n > 0)

Behauptung: 

 

x_n+1 = x_n/(x_n+ 2) < x_n      |*(x_n + 2)  Weil (Vor. x_n > 0)

gdw. 

x_n < x_n ( x_n + 2)

gdw.

1 < x_n + 2

gdw.

-1 < x_n

stimmt auch, da x_n > 0.

von unten her gelesen folgt: x_n+1 = x_n/(x_n+ 2) < x_n qed.

Answer 1

2.1. kannst du mit vollständiger Induktion beweisen: x1 = 1 > 0

x_n+1 = x_n/(x_n+ 2)

Wenn n.v. Induktionsschritt x_n > 0, so sind Zähler und Nenner grösser als Null und daher der Quotient auch.

2.2. (Vor. x_n > 0)

Behauptung: 

 

x_n+1 = x_n/(x_n+ 2) < x_n      |*(x_n + 2)  Weil (Vor. x_n > 0)

gdw. 

x_n < x_n ( x_n + 2)

gdw.

1 < x_n + 2

gdw.

-1 < x_n

stimmt auch, da x_n > 0.

von unten her gelesen folgt: x_n+1 = x_n/(x_n+ 2) < x_n qed.

Monoton fallend und beschränkt, sollte genügen für 'konvergent'. Suche den entsprechenden Satz in der Vorlesung.

Im Grenzwert muss x = x/(x+ 2) gelten

x(x+2) = x

x² + 2x = x

x² + x = 0

x(x+1) = 0 zwei Kandidaten für den Grenzwert:

x₁ = 0 und x₂ =1

Da die Folge monoton fällt, und bei 1 beginnt, ist 0 der gesuchte Grenzwert.

Comments

warum steht da  bei xn ≤ xn ( xn + 2 ) zwischen xn und (xn+2) ein mal und kein geteilt?

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Das Obige war eine Äquivalenzumformung

x_n/(x_n+ 2) < x_n      |*(x_n + 2)  Weil (Vor. x_n > 0)

gdw. 

x_n < x_n ( x_n + 2)          |:x_n      Weil (Vor. x_n > 0)

gdw.

1 < x_n + 2

gdw.

-1 < x_n

stimmt auch, da x_n > 0.