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Konvergenzbeweis für die gegebenen Folgen
Um zu bestimmen, ob die gegebenen Folgen konvergieren, nach \(+\infty\) oder \(-\infty\) divergieren, oder ob keines davon zutrifft, untersuchen wir sie separat.
Folge a)
Die gegebene Folge ist:
\(s_{n}=-3\frac{n}{(-2n^2+1)}\)
Wir vereinfachen den Ausdruck, indem wir die negativen Terme berücksichtigen, und untersuchen das Verhalten für \(n \rightarrow \infty\):
\(s_{n} \sim -3\frac{n}{-2n^2} = \frac{3}{2n}\)
Für \(n \rightarrow \infty\) tendiert \(\frac{3}{2n}\) gegen 0. Das bedeutet, die Folge konvergiert gegen 0.
Um \(N_{\varepsilon}\) für ein gegebenes \(\varepsilon > 0\) zu finden, so dass \(\left|s_{n}-0\right|<\varepsilon\) für \(n \geq N_{\varepsilon}\), setzen wir die Näherung ein:
\(\left|\frac{3}{2n}\right|<\varepsilon \Rightarrow \frac{3}{2n}<\varepsilon\)
Lösen nach \(n\):
\(n > \frac{3}{2\varepsilon}\)
Das bedeutet, um ein solches \(N_{\varepsilon}\) zu finden, müssen wir \(n\) wählen, dass größer als \(\frac{3}{2\varepsilon}\) ist. Damit wird \(N_{\varepsilon} = \lceil\frac{3}{2\varepsilon}\rceil\), wobei \(\lceil \cdot \rceil\) die Aufrundungsfunktion ist.
Folge b)
Gegebene Folge ist:
\(s_{n}=\frac{(-3n^2+n)}{(-2n+5)}\)
Um das Verhalten für \(n \rightarrow \infty\) zu untersuchen, dividieren wir Zähler und Nenner durch \(n^2\):
\(s_{n} \sim \frac{-3 + \frac{1}{n}}{-2\frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}}\)
Für große \(n\) dominieren im Zähler und Nenner die Terme mit höchster Potenz von \(n\), daher:
\(s_{n} \sim \frac{-3}{0} = -\infty\)
Dies bedeutet, dass die Folge für \(n \rightarrow \infty\) nach \(-\infty\) divergiert.
Um \(N_{\varepsilon}\) für ein gegebenes \(\varepsilon > 0\) zu finden, so dass \(\left|s_{n}\right|>\varepsilon\) für \(n \geq N_{\varepsilon}\), wird die spezifische Formel der Folge in ihrer vereinfachten Form relevant. Da die Folge gegen \(-\infty\) divergiert, muss für ausreichend große \(n\) jeder absolute Wert von \(s_{n}\) größer als jedes positive \(\varepsilon\) werden. Es lässt sich keine allgemeingültige Formel ohne weitere Informationen über \(\varepsilon\) angeben, da das Divergenzverhalten nicht direkt von \(\varepsilon\) abhängt.
Da die Folge b) nach \(-\infty\) divergiert und keinen konkreten Grenzwert hat, können wir \(N_{\varepsilon}\) nicht direkt wie bei konvergenten Folgen bestimmen, ohne eine spezifische Form des Ausdrucks von \(s_{n}\) für weitere Berechnungen zu haben.
