Folgen - Konvergenz - Konvergenzbeweise

Question

Bekanntlich jagt Achilles hinter der Schildkröte hinterher.

Achilles ist zur Zeit \( t=0 \) am Ort \( x_{0}^{A}=20 \) (Zeiteinheit: Sekunden, Lāngeneinheit:

Meter). Die Schildkröte ist zur selben Zeit am Ort \( x_{0}^{5}=90 \) und hat somit einen Vorsprung von \( 90-20 \) Metern.

Achilles läuft hinter der Schildkröte her und ist zur Zeit \( t_{1}=30 \) bei \( x_{1}^{A}=x_{0}^{5} \) angelangt. Also hat er fur die Strecke von \( x_{0}^{4} \) nach \( x_{1}^{A} 30 \) Sekunden gebraucht. Die Schildkróte, die 10 mal langsamer läuft als Achilles, ist zu diesem Zeitpunkt bereits am Ort \( x_{1}^{5} \) Achilles hat sie nicht eingeholt.
Achilles lauft weiter hinter der Schildkróte her und ist zur Zeit \( t_{2} \) an der Stelle \( x_{2}^{4}=x_{1}^{5} \). Die Schildkröte ist zu dieser Zeit jedoch schon wieder weiter und bei \( x_{2}^{5} \) angelangt. Achilles hat sie noch immer nicht eingeholt; usw.

Bestimme die Zahlen:

a) \( x_{k}^{A}, x_{k}^{5}, k=2,3,4 \)

b) \( x_{10}^{A}, x_{10}^{5} \)

c) Wie lange läuft Achilles bis \( x_{10}^{4} \) ?

Answer 1

a)

Achilles Geschwindigkeit v_A beträgt

v_A = 70 m / 30 s = ( 7 / 3 )  m/s

Die Geschwindigkeit v_S der Schildkröte beträgt ein Zehntel davon, also:

v_S = v_A / 10 = ( 7 / 30 ) m/s

 

Um den jeweiligen Vorsprung der Schildkröte zum Zeitpunkt k einzuholen, benötigt Achilles die Zeit

( x_k^S - x_k^A ) / v_A

In dieser Zeit kommt die Schildkröte um die Strecke

( ( x_k^S - x_k^A ) / v_A ) * v_S

voran. Wegen v_S / v_A = 1 / 10 gilt also für den jeweils neuen Ort x^S_k+1 der Schildkröte:

x^S_k+1 = x_k^S + ( 1 / 10 ) * ( x_k^S - x_k^A )

Während also Achilles den jeweils aktuellen Vorsprung der Schildkröte einholt, kommt die Schildkröte um ein Zehntel dieses Vorsprunges weiter voran. Daraus ergibt sich:

x₀^A = 20 m
x₀^S = 90 m

x₁^A = x₀^s = 90 m
x₁^S = x₀^S + ( 1 / 10 ) * ( x₀^S - x₀^A ) = 90 + ( 1 / 10 ) * ( 90 - 20 ) = 97 m

x₂^A = x₁^s = 97 m
x₂^S = x₁^S + ( 1 / 10 ) * ( x₁^S - x₁^A )
= x₁^S + ( 1 / 10 ) * ( x₁^S - x₀^S ) = 97 + ( 1 / 10 ) * ( 97 - 90 ) = 97,7 m

x₃^A = x₂^s = 97,7 m
x₃^S = x₂^S + ( 1 / 10 ) * ( x₂^S - x₁^S ) = 97,7 + ( 1 / 10 ) * ( 97,7 - 97 ) = 97,77 m

x₄^A = x₃^s = 97,77 m
x₄^S = x₃^S + ( 1 / 10 ) * ( x₃^S - x₂^S ) = 97,77 + ( 1 / 10 ) * ( 97,77 - 97,7 ) = 97,777 m

 

Daraus kann man die allgemeine Formel

x_k^S = x^S_k-1 + ( v_S / v_A ) * ( x^S_k-1 - x^S_k-2 ) = x^S₀ + ∑_i=0^k-1 ( 7 / 10 ⁱ )  

ableiten, die den Ort x_k^S der Schildkröte nach dem k-ten Durchgang angibt.

Für k=9 etwa ergibt sich daraus:

x₉^S = x₀^S + ∑_i=0⁸ ( 7 / 10 ⁱ ) = 90 + 7 + 0,7 + 0,07 + ... + 0,00000007 = 97,77777777 m

Damit kann nun auch Aufgabenteil b) einfach gelöst werden:

b)

x^A₁₀ = x₉^S = 97,77777777 m
x^S₁₀ = x₉^S + 0,000000007 = 97,777777777 m

c) Mit seiner Geschwindigkeit v_A = ( 7 / 3 ) m/s benötigt Achilles vom Ort x₀^A = 20 m bis zum Ort x^A₁₀ = 97,77777777 m die Zeit

t₁₀ = ( x^A₁₀ - x^A₀ ) / v_A = 77,77777777 / ( 7 / 3 ) = 33,33333333 s