Basis vom Kern bestimmen

Question

Aufgabe:

$$A = \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 1 } & { 2 } & { 4 } & { 0 } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 8 } \\ { 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 2 } & { 1 } \end{array} \right) \in \operatorname { Mat } _ { 4 \times 5 } ( ℝ )$$

Bestimmen Sie eine Basis von R^5, welche als Teilmenge eine Basis von Ker(A) enthält.

Ich habe diese Augabe bearbeitet, jedoch weiß ich leider nicht ob meine Lösung richtig ist.

Meine Lösung:

Ker(A) = \( \begin{pmatrix} -x2 - 2x3 - 4x4\\x3 + 2x4 - 8x5\\ 7x5 \\x4\\x5 \end{pmatrix} \)

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen

Answer 1

Löse die Gleichung \(A\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\).

Falls du das gemacht hast, dann hast du dich verrechnet; die Lösungsmenge ist zweidimensional.

Wähle aus der Lösungsmenge zwei linear unabhängige Lösungen v₀ und v₁ aus.

Ergänze {v₀, v₁} zu einer Basis von ℝ⁵.

Comments

Ich habe nun als Ergebnis:

\( \begin{pmatrix} -2\\2\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} -13\\-1\\7\\0\\1 \end{pmatrix} \) 

Ist dies eine Basis von A?

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A ist eine Matrix. Matrizen haben keine Basis. Verktorräume habe eine Basis. Matrizen sind keine Verktorräume. Also ist das was du als Ergebnis hast keine Basis von A.