Flächeninhalt von unbegrenzter Fläche berechnen

Question

Wie ist a > 0 zu wählen, wenn der Inhalt des im 2. Quadranten zwischen dem Graphen von f_a (x) = (a+1) * e^ax und der x-Achse liegenden - nach links unbegrenzen - Flächenstückes A den Wert 2 annehmen soll.

meine idee: untere intervallgrenze 0 und die obere intervallgrenze -u (für unendlich im grunde genommen), ((a+1) * e^(ax) ) dx = 2

jetzt muss ich die funktion integrieren: f(x)= (a+1) * e^(ax) -> F(x) = ( (a+1) / a ) * e^(ax)

dann: F(0) - F(-u)

kommt folgendes raus: ( (a+1/a)*e^(a*0) ) - ( ( a+1 / a ) * e^(a*-u) ) = 2

= (a+1/a)*e^(-au) = 2

jedoch weiß ich nicht, ob das bis hierhin richtig ist geschweigedenn richtig integriert wurde und wie es weitergeht mit dem umformen ;( ich hatte was von intergrieren durch substituion gelesen aber das erschien mir kompliziert das geht doch so schneller.. danke für die hilfe

Answer 1

Du suchst  \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^0 f_a(x) \, dx = 2 \Leftrightarrow  \lim\limits_{u\to -\infty}\displaystyle\int\limits_{u}^0 f_a(x) \, dx = 2\).

Ersetzen mithilfe der SF bringt
\(\lim\limits_{u\to -\infty} [F(0) - F(u)] = 2 \\ \Leftrightarrow \left( a^{-1}+1\right) - \lim\limits_{u\to -\infty} \left(\dfrac{(a+1)e^{au}}{a}\right)= 2 \\ \Rightarrow  \left( a^{-1}+1\right) - 0 = 2 \Leftrightarrow a=1\)

Comments

danke für deine antwort aber ich kenne die substituionsformel nicht und ich weiß ja auch gar nicht ob ich richtig integriert habe..

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sind die letzten beiden schritte durch die substitution?

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Mit SF meinte ich die Stammfunktion, nicht die Substitutionsformel.

Die Stammfunktion hast du korrekt berechnet.

Da du F(- ∞) schlecht berechnen kannst, berechnest du den Grenzwert lim u → - ∞ [F(u)].

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danke. das mit dem grenzwert habe ich verstanden, und das der ausdruck mit lim (..) = 0 wird verstehe ich ansatzweise auch. aber woher kommt diese: (a^(-1) +1 ) das verwirrt mich

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Das kommt aus der oberen Integrationsgrenze 0.

F(0) = ( (a+1) / a ) * e^(a*0) = ( (a+1) / a ) * 1 = (a+1) / a

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das heißt: e*^a*0 ergibt 1? wenn ja, heißt es, dass die konstante a ignoriert wird und einfach e*^0 gerechnet wird was = 1 ist?

zweite frage:

(a+1) / a = a^(-1)+1 ? das ist mir net ganz koscher, das kann man so umschreiben? müsste es dann aber nicht +1 / a sein?

ich hab des weiteren für u -u benutzt. warum +u?

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a*0 ist doch 0.

Und jedwede Zahl (außer die Null) hoch 0 ist 1.
Also ist e^a*0 = e^0 = 1

   (a+1) / a
= a/a + 1/a 
= 1 + 1/a
= 1/a + 1

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aso danke :D und warum +u und nicht -u weil es ja -unendlich ist?

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u ist nur eine Variable. Ich hätte sie auch z nennen können. Solange u bzw. z gegen - ∞ läuft, ist die Benennung egal.

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bei deinem letzten schritt kommt ja für lim u gegen unendlich (..) 0 raus. das ist weil du unendlich dort einsetzt.  aber für was setzt du unendlich ein das 0 rauskommt?

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   lim u → - ∞ ( (a+1) / a ) * e^(a*u)

= ( (a+1) / a ) * e^(lim u → - ∞ [a*u])

= ( (a+1) / a ) * e^(a * lim u → - ∞ [u])

= ( (a+1) / a ) * e^(a * (- ∞))

= ( (a+1) / a ) * e^(- (a*∞))

= ( (a+1) / a ) * e^(- ∞)

= ( (a+1) / a ) * 1 / e^(∞)

= ( (a+1) / a ) * 0 

= 0

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vielen dank! :)