Ungleichung 2n+1 ≤ 3^n für n ∈ ℕ mit vollständiger Induktion zeigen

Question

Aufgabe: Man zeige: Für jede natürliche Zahl n ∈ N gilt die Ungleichung

 2n+1 ≤ 3^n

Problem/Ansatz:

Hey also es geht darum, dass ich die den Induktionsschritt ganz anders gelöst habe, man bei mir allerdings auch erkennen kann, dass es kleiner ist die Voraussetzung ist also erfüllt.

Da jedoch die Lösung anders ist, habe ich zwar versucht diese zu verstehen, allerdings verstehe ich den rot markierten Schritt einfach nicht.

Wäre lieb wenn sich jemand finden würde. 

Comments

Anbei noch mein Induktionsschritt.

Wäre das so möglich?

Answer 1

Hast du ein Problem damit, wenn man einfach mal in den Raum wirft, dass 2≤3ⁿ+3ⁿ gilt? (Das gilt sogar schon für n=0, auf alle Fälle aber für alle n ab n=1.)

Comments

Ich versteh einfach nicht wie man da jetzt drauf kommt. Man kann doch nicht ohne irgendetwas in den Raum werfen ohne Zusammenhang ?

---

Man kann ALLES in den Raum werfen, wenn es nicht falsch ist.

Und in Verbindung mit der nachfolgenden Zeile (Ziel nicht aus den Augen verlieren!) war diese Abschätzung sogar sinnvoll und zielführend.

---

Okay , schonmal dafür danke und wenn ich den Schritt so gemacht hätte wie ich ihn normal gemacht habe (1.Kommentar) wäre das falsch ?

---

Das Problem bei deinem Lösungsversuch ist, dass du die Ungleichung, die bewiesen werden soll, am Anfang aufschreibst und dann auf der rechten Seite eine Ersetzung vornimmst, die problematisch sein könnte.  Beim Übergang von der drittletzten zur vorletzten Zeile ersetzt du 3ⁿ durch etwas kleineres, nämlich 2n+1.

Allerdings könnte man deine Ideen retten, indem man sie in anderer Reihenfolge notiert.

2(n+1)+1=2n+3≤6n+3=(2n+1)*3≤3ⁿ*3=3ⁿ⁺¹

Und schon ist alles gut. :-)

Die Autoren der Musterlösung sind vermutlich so vorgegangen, dass sie beide Terme solange umgeformt haben, bis die Induktionsvoraussetzung für das nötige Kleiner-gleich-Zeichen gepasst hat.

---

Du verwendest 4 Zeilen, um die noch unbewiesene Induktionsvoraussetzung hinzuschreiben. Der Rückgriff auf die Voraussetzung in der vorletzen Zeile ist unsauber. Du hättest deinen Weg aber von hinten aufzäumen können (Mischung aus direktem und induktivem Beweis):

Für alle n gilt

2n+3≤6n+3

Daraus folgt

2n+3≤3(2n+1)

Wegen der Ind.-Voraussetzung folgt daraus

2n+3≤3(2n+1)≤3·3ⁿ ,also kurz

2n+3≤3·3ⁿ bzw.

2(n+1)+1≤3ⁿ⁺¹.

---

Okay dankeschön :)

Answer 2

Das Problem bei deinem Lösungsversuch ist, dass du die Ungleichung, die bewiesen werden soll, am Anfang aufschreibst und dann auf der rechten Seite eine Ersetzung vornimmst, die problematisch sein könnte.  Beim Übergang von der drittletzten zur vorletzten Zeile ersetzt du 3ⁿ durch etwas kleineres, nämlich 2n+1.

Allerdings könnte man deine Ideen retten, indem man sie in anderer Reihenfolge notiert.

2(n+1)+1=2n+3≤6n+3=(2n+1)*3≤3ⁿ*3=3ⁿ⁺¹

Und schon ist alles gut. :-)

Die Autoren der Musterlösung sind vermutlich so vorgegangen, dass sie beide Terme solange umgeformt haben, bis die Induktionsvoraussetzung für das nötige Kleiner-gleich-Zeichen gepasst hat.