Fläche, die von der x-Achse und y = -x^2 + 1 eingeschlossen wird bestimmen.

Question

Aufgabe:

y=-x²+1

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe ist kein Intervall gegeben. Muss ich jetzt die Stammfunktion bilden und danach die Nullstellen bestimmen? Wenn ja, kann einer es bitte vorrechnen?

Answer 1

f(x) = - x^2 + 1 = 0 --> x = ±1

F(x) = - 1/3·x^3 + x

∫ (-1 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(-1) = 2/3 - (- 2/3) = 4/3 = 1.333 FE

Der Graph der Funktion f schließt mit der x-Achse eine Fläche von 4/3 ein.

Comments

Also für die Nullstellen ist dann nur die normale Funktion nötig?

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Richtig. Nullstellen bestimmt man immer mit f(x) = 0.

Answer 2

Aloha :)

Du sollst die Fläche zwischen den beiden Funktionen \(f(x)=-x^2+1\) und \(g(x)=0\) berechnen. Die Differenzfunktion ist \(d(x)=f(x)-g(x)=-x^2+1=-(x^2-1)=-(x+1)(x-1)\). Die Nullstellen sind \(-1\) und \(1\), daher ist die Fläche zwischen den beiden Kurven:

$$F=\left|\int\limits_{-1}^1(-x^2+1)\,dx\right|=\left|\left[-\frac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^1\right|=\frac{4}{3}$$