Zufallsvariable in Abhängigkeit von Gleichverteilung

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Annemarie ist auf Geschäftsreise in Hintertupfingen. Dort gibt es nur eine Bahnstrecke, }} \\ {\text { die vom Startbahnhof } s_{0} \text { zum Endbahnhof } s_{n} \text { entlang einer Geraden verläuft. Auf der }} \\ {\text { gesamten Strecke befinden sich } n+1 \text { Stationen } s_{0}, \ldots, s_{n}, \text { die jeweils im Abstand } d>0} \\ {\text { stehen. Hierbei befinde sich } s_{0} \text { an Stelle } 0 \text { und } s_{n} \text { an Stelle } n \cdot d \text { des Zahlenstrahls. }}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{\text { Leider bleibt die Bahn an einer zufälligen, auf dem reellen Intervall }[0, n \cdot d] \text { gleichverteilten }} \\ {\text { Stelle } X \text { liegen, sodass Annemarie von } X \text { aus entlang der Bahnstrecke zur nächstgelegenen }} \\ {\text { Station läuft. Falls beide benachbarten Stationen gleich weit entfernt sind, lauft sie in }} \\ {\text { Richtung des Endbahnhofs. Sei } Y \text { die Länge von Annemaries Fußweg. }}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{\text { 1. Geben Sie die Verteilungsfunktion von } X \text { an. }} \\ {\text { 2. Argumentieren Sie, dass die Gleichung } \operatorname{Pr}[Y \leq y]=\sum_{i=0}^{n}\left(F_{X}(i d+y)-F_{X}(i d-y)\right)} \\ {\text { für } y \in[0, d / 2) \text { gilt. }} \\ {\text { 3. Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion von } Y \text { . }} \\ {\text { 4. Wie viele Stationen müssen die Hintertupfinger Verkehrsbetriebe auf einer Strecke }} \\ {\text { der Länge } n \cdot d=10 \mathrm{km} \text { mindestens einrichten, damit der erwartete Weg } \mathbb{E}[Y]} \\ {\text { höchstens } 250 \mathrm{m} \text { beträgt? }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Für die 1. habe ich folgende Verteilung gefunden:

$$F_{x}(x)=\left\{\begin{array}{cc}{0} & {,x<0} \\ {\frac{x}{n \cdot d}} & {, 0 \leq x \leq n \cdot d} \\ {1} & {x>n-d}\end{array}\right.$$

Bei 2-4 ist mir aber unklar wie man vorgehen muss. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp!

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Bei (1.) ist Dir ein kleiner Fehler unterlaufen, es muss heissen

$$F_{x}(x) = \left \{\begin{array}{cc}{0} & {x<0} \\ {\frac{x}{n \cdot d}} & {0 \leq x \leq n \cdot d} \\ {1} & {x>n \cdot d}\end{array}\right.$$

Zu (2.)

Die Gleichung für $$\text{Pr}[Y \le y]$$ bedeutet $$\text{Pr}[Y \le y] = \sum_{i=0}^n \left[ F_X(\text{id} + y) - F_X(\text{id} - y) \right] = \sum_{i=0}^n \text{Pr} [ \text{id} - y \le Y \le \text{id} + y ]$$ D.h. es werden die Wahrscheinlichkeiten für die Weglängen berechnet, um zur i-ten Station zu kommen. Anschließend werden diese Wahrscheinlichkeiten  aufsummiert, und das ergibt die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Weglänge.

Zu (3.)

Per Definition gilt $$F_Y(y) = \text{Pr}[Y \le y] = \sum_{i=0}^n \left[ F_X(\text{id} + y) - F_X(\text{id} - y) \right]$$

Für die Verteilungsfunktion muss gelten $F_Y(0) = 0$ und $F_Y\left( \frac{d}{2} \right) = 1$

$$F_Y(0) = \sum_{i=0}^n [ F_X( \text{id} - F_X( \text{id} ] = 0$$ und

$$F_Y \left( \frac{d}{2} \right) = \sum_{i=0}^n \left[ F_X \left( \text{id} + \frac{d}{2} \right) - F_X \left( \text{id} - \frac{d}{2} \right) \right] = \\ \frac{ \frac{d}{2} }{nd} + \frac{d}{nd} (n-1) + 1 - \frac{nd -\frac{d}{2}}{nd} = 1$$ Das passt also!

Zu (4.)

Um den Erwartungswert zu berechnen, benötigt man die Dichte der Zufallsvariablen und die berechnet sich Ableitung der Verteilungsfunktion. Wenn man das macht kommt man auf die Dichte $$f_Y(y) = \frac{1}{\frac{d}{2}} = \frac{2}{d}$$

Der Erwartungswert berechnet sich dann wie folgt $$\int_0^{\frac{d}{2}} f_Y(y) ~ y ~ dy = \frac{d}{4}$$

Aus $nd = 10000$ und $\frac{d}{4} = 250$ folgt $n = 10$