Sind die Funktionen bijektiv, surjektiv oder injektiv?

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen f : A → B injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.

a) A = B = R, f(x) = e^x

b) A = [0,∞), B = R, f(x) = √x

c) A = B = R, f(x) = sin x

d) A = (−π/2, π/2), B = R, f(x) = tan x

e) A = B = N, f(n) = n^2

f) A = N, B = Q, f(n) = 1/n

g) A = B = R, f(x) = |2x − 4|

Geben Sie notfalls Einschränkungen A´, B´ von A bzw. B an, so dass f : A´ → B´ bijektiv wird.
Bestimmen Sie dann die inverse Funktion f^ -1: B´ → A´ (f hoch -1) 

,

ich hoffe, jemand kann mir bei dieser Aufgabe helfen. Eigentlich geht es bei uns um Mengen / Aussagen und reelle Zahlen. Ich kann diese Aufgabe damit überhaupt gar nicht in Zusammenhang bringen, geschweige denn das ich eine Ahnung habe, was ich tun muss.

LG und lieben Dank schon einmal

Comments

Bist du mit den 3 Begriffen vertraut?

Du sollst sie auf die Funktionen anwenden.

e^x  ist bijektiv. Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet. Ebenso √x.

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Du meinst injektiv, oder?

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion

Schau dir die Definitionen und Beispiele zu den Begriffen an. Die könnten auch schon in einem deiner alten Mathematikhefte stehen, als der Begriff "Funktion" eingeführt wurde.

Du musst insbesondere die Definitionsbereiche und Wertebereiche genau anschauen. Bei der Einführung der Umkehrfunktionen, z.B. Wurzelfunktion und Logarithmusfunktion brauchte es da Einschränkungen und Anpassungen.

Comments

Leider habe ich damit noch nie etwas zu tun gehabt, da hab ich als erstes nachgesehen :D Aber ich glaub ich hab einen Ansatz und bekomm das so hin.

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ich glaub ich hab einen Ansatz und bekomm das so hin.

Bitte. Das ist gut so.

Du kannst gern deine Ideen zeigen. Dann kann man eine Rückmeldung geben.

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Das ist aber lieb, vielen Dank!

Ich hab es mal versucht zu lösen, aber wirklich sicher bin ich mir überhaupt nicht. Wobei es für mich schon ein großer Schritt ist, überhaupt einen Ansatz zu haben.

Ich hoffe, ich bin nicht komplett auf dem falschen Pfad damit? :/  Vielleicht kann mir auch jemand einen Tipp geben, wie ich das Bild hätte drehen können? Eigentlich hab ich es im senkrechten Format hochgeladen, nicht quer :D

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a) f ist injektiv und weder surjektiv noch bijektiv, stimmt

Wenn Definitionsbereich R aber Wertebereich R+ , ist f bijektiv.

b)  f ist injektiv und weder surjektiv noch bijektiv, stimmt.

Wenn Definitionsbereich und Wertebereich R+ u {0} , ist f bijektiv.

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c) A = B = R, f(x) = sin x

f ist weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv, stimmt.

A= [-π/2 , π/2], B = [-1,1] macht f bijektiv

d) A = (−π/2, π/2), B = R, f(x) = tan x

f ist injektiv , surjektiv und bijektiv, stimmt.

e) A = B = N, f(n) = n^2 

f ist injektiv und weder surjektiv noch bijektiv.

A = N und B = {Quadratzahlen} macht f bijektiv

f) A = N, B = Q, f(n) = 1/n

Anscheinend gehört 0 bei euch nicht zu N.
f ist injektiv und weder surjektiv noch bijektiv.

A = N, B = { k | k:= 1/n, n∈N} macht f bijektiv

g) A = B = R, f(x) = |2x − 4|

f ist injektiv und weder surjektiv noch bijektiv.

A = [2,∞[ , B = R+ ∪ {0} macht f bijektiv

So weit meine Vorschläge. Jetzt versuche ich noch dein Bild zu drehen.

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e) A = B = N, f(n) = n^2

f ist weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv.

A = N und B = {Quadratzahlen} macht f bijektiv

Warum ist f nicht injektiv?

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Danke. f bei e) ist injektiv. Ist nun korrigiert.

Answer 2

Weißt du denn, was injektiv / surjektiv .. bedeuten?

a) nicht surjektiv, da ausschließlich positive FW existieren.
B=]0;∞[

b) selbiges wie bei a, nur, dass nicht-negative Elemente nicht auftreten können. 
B = [0;∞[

...

Comments

danke für die Rückmeldung!

100%ig leider nicht. In den Vorlesungen haben wir (noch) nicht behandelt. Ich bin auch etwas verwundert / verunsichert von der Aufgabe.

Ich hab mir versucht das ganze anhand von Abbildungen (jeweils rechts und links 1 "Blase mit Punkten drin, die Punkte stellen die Elemente dar) zu verdeutlichen.

injektiv: rechts müssen mindestens genauso viele Elemente sein wie links oder mehr.

surjektiv: die umgekehrte situation zu injektiv (also links mind. genauso viele Elemente wie rechts oder mehr)

bijektiv: die Anzahl an Elementen rechts und links sind gleich.

Wie ich das auf die Aufgabe übertragen kann versteh ich aber nicht :(

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surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Menge B mind. 1x als Funktionswert angenommen wird.

Bei e^x ist der Wertebereich die positiven reellen Zahlen. In der Aufgabe sind jedoch alle reellen Zahlen möglich. Also ist die Funktion nicht surjektiv, da z.B. der FW -22 oder 0 nie erreicht wird.

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Aaah . okay, ich glaube es kommt Licht ins Dunkele, wenn auch langsam. Ich versuch es mit dem Wissen noch mal. Vielen Dank für die Erklärungen!