Binomialkoeffizienten: Gleichheit nachweisen

Question

Aufgabe:

Binomialkoeffizienten: Gleichheit nachweisen

 \( \binom{n}{i}\) = \( \binom{n}{i-1}\) \( \frac{n - (i-1)}{i} \)

Problem/Ansatz:

Ich versuche mit der rechten Seite auf die linke zu kommen.

\( \dfrac{n! * n - n!(i-1)}{(i-1)!i * (n-(i-1))!i} \) =

\( \dfrac{n! * n - n!(i-1)}{i! * n!i - i!} \)  hier komme ich nicht weiter

Answer 1

(n über i) = (n über i - 1) * (n - (i - 1)) / i

n! / (i! * (n - i)!) = n! / ((i - 1)! * (n - (i - 1))!) * (n - (i - 1)) / i

n! / (i! * (n - i)!) = n! / ((i - 1)! * (n - i + 1)!) * (n - i + 1) / i

n! / (i! * (n - i)!) = n! / ((i - 1)! * (n - i)!) * 1 / i

n! / (i! * (n - i)!) = n! / (i! * (n - i)!)

wahr

Answer 2

Aloha :)

$$\binom{n}{i-1}\cdot\frac{n-(i-1)}{i}=\frac{n!}{(i-1)!(n-(i-1))!}\cdot\frac{n-(i-1)}{i}$$$$=\frac{n!}{(i-1)!(n-i+1)!}\cdot\frac{n-i+1}{i}=\frac{n!}{(i-1)!\cdot i}\cdot\frac{n-i+1}{(n-i+1)!}$$$$=\frac{n!}{i!}\cdot\frac{1}{(n-i)!}=\binom{n}{i}$$