Integral von x/(a+bx²)³ bestimmen

Question

die noch wach sind !

Wie löse ich folgendes Integral am geschicktesten?

$$\int\frac{x}{(a+bx^2)^3}\,dx$$

Vielleicht mit kurzer Erklärung, damit ich es nachvollziehen kann.

Danke euch und viele Grüße

void

Answer 1

Aloha :)

Integrale lassen sich oft sehr schnell hinschreiben, wenn du irgendwie eine innere Ableitung als Faktor identifizieren kannst. Die innere Ableitung des Nenners ist hier \(2bx\). Das entspricht bis auf die Konstante \(2b\) dem Zähler. Daher empfehle ich folgendes Vorgehen:

$$\int\frac{x}{(a+bx^2)^3}\,dx=\frac{1}{2b}\int\frac{2bx}{(a+bx^2)^3}\,dx=\frac{1}{2b}\int(2bx)(a+bx^2)^{-3}\,dx$$$$=\frac{1}{2b}(a+bx^2)^{-2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4b}\frac{1}{(a+bx^2)^2}+\text{const.}$$

Comments

Cool, das habe ich so noch nicht gesehen!!!

Damit kann man ja Substitutionen sehr schnell hinschreiben...

Vielen Dank fürs Zeigen.

Answer 2

∫ x / (a + b·x^2)^3 dx

Subst.

z = a + b·x^2
1 dz = 2·b·x dx
dx = 1/(2·b·x) dz

= ∫ x / z^3 · 1/(2·b·x) dz

= 1/(2·b)·∫ 1 / z^3 dz

= 1/(2·b)·(- 1/(2·z^2)) + C

= - 1/(4·b·z^2) + C

Resubst

= - 1/(4·b·(a + b·x^2)^2) + C