\(\begin{aligned} p\left(C|B\right)\cdot p\left(B|A\right)\cdot p\left(A\right) & =\frac{p\left(C,B\right)}{p\left(B\right)}\cdot\frac{p\left(B,A\right)}{p\left(A\right)}\cdot p(A)\\ & =\frac{p\left(C,B\right)\cdot p\left(B,A\right)}{p\left(B\right)}\\ & =\frac{p\left(\left(C,B\right),\left(B,A\right)\right)}{p\left(B\right)}\\ & =\frac{p\left(\left(C,A\right),B\right)}{p\left(B\right)}\\ & =p\left(C,A|B\right) \end{aligned}\)
Für die Umformung von der zweiten zur dritten Zeile müssen \(C,B\) und \(B,A\) stochastisch unabhängig sein. Dass bei fehlender stochastischer Unabhängigkeit \(p(C | B) p(B | A) p(A) = p (A,C | B)\) nicht mehr gilt, kann man sich klar machen mithilfe des Laplaceexepriments mit Grundmenge
\(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
und
\(A = \{1\}, B = \Omega, C = \{1,3,5\}\).
