Schranken von Intervallen stets inf I und Sup I. Was gilt für max I und min I?

Question

Aufgabe:

zeigen Sie die folgende Aussage:

"Ist I E R ein beliebiges Intervall (offen, abgeschlossen, halboffen, beschränkt, unbeschränkt), so sind die Intervallgrenzen stets inf I und Sup I.

Was gilt für max I und min I?

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe lösen soll.

Zum einen muss ich einen Beweis dafür aufstellen und wenn ja wie oder reicht es zu sagen was mein Supremum und Infimum ist und dann mit der epsilongleichung das zu beantworten.

Z.b. abgeschlossenes Intervall

Allquantor epsilon > o existenzquantor x epsilon E [a,b]: x epsilon > b-epsilon

Answer 1

Man wird wohl die einzelnen Fälle betrachten müssen, eventuell kann man einige zusammenfassen.

Etwa so:   J ist ein nach unten unbeschränktes Intervall:

==>    Für alle s ∈ ℝ gibt es ein x ∈ J  mit   x < s.        #

Dann ist ja inf(J) = - ∞.  z. zg:   Das ist auch die untere Intervallgrenze.

Angenommen es gäbe eine andere untere Intervallgrenze s ∈ℝ, dann hätte

man einen Widerspruch zu #.

Also weiter mit:   J ist nach unten beschränktes Intervall.

Dann gibt es genau ein u ∈ ℝ  mit   inf(J) = u  .

zu zeigen: Dieses u ist die untere Intervallgrenze, was bedeutet:

Für alle x∈J gilt  x≥u , aber für jedes ε>0 gibt es ein x∈J mit  x < u+ε.

Das ist aber genau die Eigenschaft des Infimums, also ist inf(J) die

untere Intervallgrenze.

Damit hätte man ja wohl für die untere Intervallgrenze alles geklärt.

Entsprechend für obere.

Comments

Vielen Dank.

Ich werde mich dann nochmal an der Aufgabe versuchen.

Answer 2

Seien a,b ∈ ℝ mit a < b. Sei I :=  (a,b).

Es gilt x ≥ a für alle x ∈ I laut Definition Intervall.

Laut Definition untere Schranke ist dann a eine untere Schranke von I.

Sei c ∈ ℝ mit c > a.

Ist c ≥ b, dann ist c keine untere Schranke von I, wegen (a+b)/2 < b ≤ c und (a+b)/2 ∈ I.

Ist c < b, dann ist c keine untere Schranke von I, wegen a < (a+c)/2 < c und (a+c)/2 ∈ I.

Also ist a die größte untere Schranke von I und somit das Infimum von I.

Comments

Danke schön für die Antwort.

Wird mir hoffentlich geholfen haben.