Fläche einer exponentiellen Funktionenschar an einer Geraden

Question

Gegeben ist die Funktionenschar ƒ_a(x) = \( \frac{1}{2} \)(a·e^x + e^-a·x), a ∈ ℝ, a ≠ 0, a ≠ -1.

Der Graph von f_a schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = k, k < 0 für a < -1 im 3. Quadranten eine Fläche A_a(k) ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a.

Ansatz:

Leider bin ich mir hier absolut nicht sicher. Ich habe folgendes versucht:

A = \( \int\limits_{0}^{k} \)ƒ_a(x) dx = \( \frac{1}{2} \)a·e^x - \( \frac{1}{2a} \)e^-a·x\( \int\limits_{0}^{k} \) = \( \frac{1}{2} \)a·e^k - \( \frac{1}{2a} \) e^-a·k FE

nur bin ich mir ziemlich sicher, dass das ganz sicher nicht stimmen kann. Müsste ich nicht den x-Wert des Schnittpunktes zwischen ƒa(x) und der Geraden x = k als Intervallgrenze einfügen? Da habe ich leider überhaupt keine Lösung für. Versucht habe ich da folgendes:

ƒa(x) = x

\( \frac{1}{2} \)(a·e^x + e^-a·x) = k

a·e^x + e^-a·x = 2·k

ln(a) + x - a·x = ln(2·k)

ln(a) - ln(2·k) = x·(a - 1)

x = \( \frac{ln(a) - ln(2·k)}{a - 1} \)

und das macht nun mal leider gar keinen Sinn.

Bitte helft mir aus, wenn ihr könnt.

Answer 1

Hier
die Funktionsgleichung
Stammfunktion
Integralfunktion zwischen k und null

k ist die Gerade ( Senkrechte ) an der Stelle x
Die Fläche noch in Betragszeichen setzen

Der Graph für a = -2

Comments

Check ich ja mal gar nicht, was diese Antwort bedeuten soll. Und diese Bilder sind genauso verwirrend.

Hab ich die Aufgabe richtig gemacht, ja oder nein? Und wenn nicht, was ist der Fehler und wie ist es richtig?