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Wie berechne ich diese Textaufgabe?

Aufgabe:

Das Dach einer 20m breiten und 60 m langen Tennishalle soll einen parabelbogen spannen. Berechne den Zuwachs, den das Lift Volumen der Halle erhält, wenn anstelle der ursprünglichen geplanten Bauhöhe von 8m eine Höhe von 10m gewählt wird.



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mit der Scheitelpunktform einer Parabel

$$f(x)=a(x-d)^2+e$$

kannst du durch Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunktes und einer der Nullstellen "a" bestimmen.

Anschließend berechnest du den Flächeninhalt im Intervall von 0 bis 20 und multiplizierst das Ergebnis mit 60, um das Volumen zu erhalten.

Die Differenz der beiden Ergebnisse ist dann der Zuwachs.

Gruß, Silvia

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Wie setzte ich die Koordinaten ein und berechne die nullstellen?

Die Nullstellen kannst du aus der Zeichnung ablesen (bei 0 und 20). Nehmen wir das urspüngliche Dach. Die Scheitelpunktform lautet

$$f(x)=a(x-10)^2+8$$

Jetzt setzt du für f(x) null ein und für x 0 oder 20 und löst nach a auf.

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ursprünglich geplante Bauhöhe von 8m:

Volumen:60· \( \int\limits_{-20}^{20} \) (-\( \frac{1}{50} \) x2 + 8) dx

Neue Höhe von 10m

Volumen: 60· \( \int\limits_{-20}^{20} \) (-\( \frac{1}{40} \) x2 + 10) dx.

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Das ist glaube ich genau das Doppelte.

@Roland: Wenn die Parabel so verschoben wird, dass der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt, müssen die Grenzen -10 und +10 sein. Außerdem sind die Faktoren vor dem x² falsch. -0,08 und -0,1 wären richtig, da bei 10 eine Nullstelle vorliegt.

Wop, du hast ganz recht. Die richtige Lösung steht schon da. Ich korrigiere daher nicht.

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Vorschlag Verschiebung der Parabel um 10 m nach links
Der Scheitelpunkt befindet sich auf der y-Achse

Funktion
h = 10 m
f ( x )  = a * x^2 + 10
f ( 10 ) = 0 = a * 10^2 + 10
a * 10^2 + 10 = 0
a = -10 / 100 = -0.1
f ( x ) = -0.1 * x^2 + 10

kleinere Parabel
h = 8 m
f ( x )  = a * x^2 + 8
f ( 10 ) = 0 = a * 10^2 + 8
a * 10^2 + 8 = 0
a = -8 / 100 = -0.08
f ( x ) = -0.08 * x^2 + 8

Differenzfunktion
d ( x ) = -0.1 * x^2 + 10 - ( -0.08 * x^2 + 8 )
d ( x ) = -0.1 * x^2 + 10  + 0.08 * x^2 - 8
d ( x ) = 0.02 * x^2 + 2
Stammfunktion
S ( x ) = 0.02 * x^3 / 3 + 2x

Halbe Fläche
[ S ( x ) ] zwischen 0 und 10 = 40/3
ganze Fläche = * 2 = 80/3 m^2
Liftvolumen : Fläche * Hallenlänge

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