Zeigen, dass die folgende Menge abgeschlossen im R^2 ist

Question

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Im Moment hänge ich an der folgenden Aufgabe. =(

Zeige, dass die folgende Menge abgeschlossen im ℝ^2 ist.

A = {(x,y)∈ℝ^2 Ixy<=1}

Über etwas Hilfe wäre ich sehr dankbar! =)

Answer 1

Ich vermute, dass die Aufgabe aus der Topologie stammt.

Wenn ich die Ungleichung umstelle, erhalte ich für positive x-Werte y≤1/x, also im Koordinatensystem, die Fläche unterhalb der Hyperbel mit y=1/x. im I. Quadranten, sowie den vollständigen IV. Quadranten. Für negative x-Werte alle Punkte oberhalb der Hyperbel.

Außerdem gehören die vollständigen Achsen zu A, da z.B. 0y=0≤1 für alle y-Werte gilt. Die Menge A ist deshalb nicht abgeschlossen. Sie ist allerdings auch nicht offen, da ihr Komplement auch nicht abgeschlossen ist.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort! Die Aufgabe muss ich für das Modul Analysis 2 lösen.