Funktionsgleichung von diesem Graphen?

Question

Ich habe Probleme die Funktionsgleichung von folgendem Graphen aufzustellen:

Es wäre sehr nett, wenn jemand mir mit "Lösungsweg" helfen würde :)

Answer 1

Aloha :)

Es fallen sofort die 3 Nullstellen bei \(-2\), bei \(0\) und bei \(1\) auf. Bei \((-2)\) ist eine doppelte Nullstelle, weil der Graph die x-Achse nur berührt. Die Gesuchte sieht daher in etwa so aus:

$$f(x)=x(x-1)(x+2)^2=x^4+3x^3-4x$$

Wir prüfen sicherheitshalber noch die Ableitungen: $$f'(x)=4x^3+9x^2-4$$Die erste Ableitung hat 3 Nullstellen, eine bei \(-2\), eine bei \(-(1+\sqrt{33})/8\approx-0,84\) und eine bei \((\sqrt{33}-1)/8\approx0,59\). Das passt sehr gut zu den Extermwerten aus der Abbildung.

$$f''(x)=12x^2+18x=6x(2x+3)$$Die zweite Ableitungen liefert die Wendepunkte \(x=0\) und \(x=-1,5\), was ebenfalls sehr gut mit der Abbildung übereinstimmt.

Ich denke, wir haben's damit ;)

Comments

vielen Dank :)

x(x−1)(x+2 )² hier ist bei der zweiten Klammer das hoch 2, da bei x=2 eine dopelte Nullstelle liegt, richtig?

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Genau so ist es :)

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Dankeschön :)

Answer 2

Betrachte die Nullstellen. x=1, x=0, x=-2

Da die Kurve die x-Achse bei -2 berührt, liegt hier eine doppelte Nullstelle vor.

Mit Linearfaktoren (ich hoffe, du weißt, was das ist) kannst du nun schreiben:

f(x)=a·x·(x-1)(x+2)²

f(x)=a(x²-x)(x²+4x+4)

f(x)=a(x^4+4x³+4x²-x³-4x²-4x)

f(x)=a(x^4+3x³-4x)

Der Faktor a muss nun noch gefunden werden.

Für x=-1 müsste nach der Abbildung schätzungsweise 2 herauskommen.

f(-1)=a(1-3+4)=2a=2

Demnach wäre a=1.

f(x)=x^4+3x³-4x

Comments

Dankeschön :)

Aber wie man auf den Faktor a kommt habe ich noch nicht so richtig verstanden.

"a(1-3+4)=2a=2" Werden die Vorzeichen in der Klammer einfach "vertauscht" ?

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Ich habe x=-1 eingesetzt. Bei x⁴ bleibt das Vorzeichen, bei x³ und x ändert es sich.

(-1)⁴ = 1 ; (-1)³ = -1

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Ahhh... Danke.. Habe gerade wohl zu wenig nachgedacht :D

Answer 3

Versuche es mal mit dem Ansatz

$$ f(x) = a\cdot (x-(-2))^2 \cdot x \cdot (x-1) $$

Bei -2 hast du eine doppelte Nullstelle (-> Quadrat), bei 0 und 1 jeweils eine einfache.

Answer 4

Sieht aus nach: ganzrat. Fkt. 4. Grades. Also Ansatz

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

und dann die Informationen ablesen

f ' (-2) = 0

f ' (-1) = 0

f (1) = 0

f(0) = 0

f (1) = 0

Aus der 4. bekommst du gleich  e=0 .

Die anderen ergeben dann ein lin. Gl.system

mit den Variablen abcd. Die musst du ausrechnen.

Comments

Bei x=-1 liegt meiner Meinung nach kein Extremum vor.

Bei deinen Gleichungen würde ich f'(-1)=0 streichen und f(-2)=0 ergänzen.

Außerdem ist f(-1)=0 bei dir doppelt vorhanden.

Answer 5

Hallo

3 Extremstellen also Polynom 4 ten Grades. also y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

ablesen: Nullstellen y=0 ergibt 2 Gleichungen

Extremsten y'=0 ergibt 3 Gleichungen, insgesamt 5 Gleichungen für die 5 Unbekannten a bis e

(überprüfen etwa durch einsetzen eines weiteren abgelesenen Punkts)

Gruß lul