Differenzialrechnung: Tangente von gerade an Funktion ist + Berührungspunkt

Question

Aufgabe:

Zeigen sie, dass die Gerade g mit der Gleichung g(x) = -4x-3 Tangente an die Funktion f mit f(x) = 1/3 x²-2x ist, und geben sie die Koordination des Berührungspunktes an!

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das lösen soll, ich war an dem Tag an dem wir das besprochen haben nicht da und brauche hilfe.

Ich habe die Punkte (-3/9) raus, stimmt das?

Answer 1

Löse die Gleichung f(x) = g(x). Wenn du eine einzige Lösung bekommst, dann ist g Tangente von f. Setze die Lösung in g ein um die y-Koordinate zu berechnen.

Das Argument ¨Wenn du eine einzige Lösung bekommst, dann ist g Tangente von fgilt deshalb weil f eine quadratische Funktion ist. Wäre f keine quadratische Funktion, dann könnte es sein

• dass du eine einzige Lösung bekommst und g trotzdem nicht Tangente ist, oder
  
• dass du mehrere Lösungen bekommst und g trotzdem Tangente ist.

Dann müsstest du zusätzlich prüfen, ob f und g an der gefundenen Stelle auch die gleiche Steigung haben.

Answer 2

zwei Funktionen haben einen Berührpunkt, wenn gilt

f(x) = g(x) und

f'(x) = g'(x)

Zur Bestimmung des Punktes setzt du also zunächst

$$\frac{1}{3}x^2-2x=-4x-3$$

und löst nach x auf.

Anschließend berechnest du die Ableitung an dieser Stelle = Steigung der Tangente.

Allgemeine Formel einer Tangente: y = mx + b

Um b auszurechnen, setzt du die Steigung sowie die Koordinaten des Punktes in diese Gleichung ein und prüfst, ob diese Gleichung mit g(x) identisch ist.

Wenn es noch Unklarheiten gibt, melde dich.

Gruß, Silvia

Answer 3

Deine Lösung ist richtig.

Bilde die Ableitung f'(x) und setze den x-Wert deines Punktes ein.

\(f'(x)=\frac{2}{3}x-2 \Rightarrow f'(-3)=\frac{2}{3}\cdot(-3)-2=-4 \)

Da die Steigung von g(x) auch -4 ist, ist die Gerade g die Tangente an der Parabel f im Punkt P(-3|9).