Bestimmen Sie alle Verknüpfungen!

Question

Aufgabe:

Sei G = {a, b} eine zweielementige Menge. Bestimmen Sie alle Verknüpfungen
∗ : G × G → G,
welche G zu einer Gruppe machen

Problem/Ansatz:
Eine Verknüpfung wäre ja (ab) bzw. (ba), weil kommutativ... oder?

Gibt es noch weiter Verknüpfungen? Wie schreibt man das "Ergebnis" formell richtig an?

Comments

Ein geeignete Darstellung einer Verküpfung  ist die Verknüpfungs- tafel, z.B.

*	a	b
a	a	b
b	b	a

Answer 1

das ist eine endliche Gruppe, also brauchst du nur die Veknüpfungstabelle angeben.

Du brauchst ein neutrales Element.

Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit a

das neutrale Element. Dann gilt

a*a=a

a*b=b

b*a=b

Fehlt noch

b*b=a

(Wenn b*b=b wäre , dann wäre ja b auch neutrales Element)

Comments

Alles klar, vielen Dank!

Also darf nur 1 neutrales Element existieren, in dem Fall "a"?

Oder dürfte rein theoretisch auch b ein neutrales Element sein, sodass gilt: b*b=b.

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Und noch eine Frage: Wenn gilt, dass "a" das neutrale Element ist, warum gilt dann:
b * b = a, also das neutrale Element...?
Hättest du dafür ein konkretes Beispiel, wenn b*b= neutrales Element ergibt?

:)

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b*b muss entweder a oder b ergeben, denn mehr Elemente hat die Menge nicht.

Wenn b*b= b gelten würde, dann wäre b ein neutrales Element. Das neutrale Element einer Gruppe ist jedoch eindeutig und das ist bereits a. Daher muss b*b=a sein.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten diese Gruppe darzustellen, siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen

https://de.wikipedia.org/wiki/Z2_(Gruppe)