Injektivität, Surjektivität, Bijektivität f(x)=√x

Question

Aufgabe:

Gegeben sei f : R _{≥ 0}  → R  mit x -> √x (also f(x) = √x). Zeige ob die Abbildung surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Aus der Definition der Surjektivtät weiß ich (für diese Funktion):

∀ y ∈ R   ∃ x ∈ R _{≥ 0}: f(x) = y

Wie könnte ich nun weiter argumentieren um die Surjektivtät zu zeigen oder zu widerlegen.

Danke für Hilfe im voraus.

Answer 1

Setze wieder wie hier in die Definition ein und interpretiere dein Endergebnis.

https://www.mathelounge.de/664130/injektivitat-surjektivitat-bijektivitat-f-x-1-x

Was wirst du feststellen?

Comments

Also müsste ich  y =  √x setzen und dann argumentieren:

 y = √x ⇔ x = √y. Und da x ≥ 0 ist müsste es für jedes y ∈ R ein x ∈ R_≥0 mit f(x)=y geben. Also wäre die Funktion surjektiv?

Wäre dies korrekt?

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Man könnte auch so argumentieren:

√x ist streng monoton steigend und damit bijektiv und damit automatisch surjektiv.

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Nein, das erste Äquivalenzzeichen ist falsch; Setz mal y=2, x=4.

Hallo Gast2016: bijektiv stimmt nicht ohne Änderung der Mengen. Deine Aussage muss heißen:

...str. mon. st und damit injektiv.(nicht surj)

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@ Napkin

Du möchtest x haben, d.h du sollst danach umstellen.

Mit \( y\geq 0 \) ist \(y^2=x \).

Betrachte \(y<0\). Dann ist klar, dass es kein \( x\in \mathbb{R}_{\geq 0}\) geben kann, um \(y=\sqrt{x}\) zu erfüllen.

Answer 2

Nimm als Wertebereich auch ℝ₀⁺, sonst ist die Fkt nicht surj: Zu y=-1 ex. kein x!

Sei y≥0 und y=√x, dann ex. x=y² ...