Zeigen Sie , dass n+k-1 über k=(-1)^k (-n über k)

Question

Komme nicht mehr weiter. Ich weiß nicht wie ich den Bruch spalten kann

Answer 1

Schreibe die 2. Zeile nicht so umständlich:

\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \)= \( \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} \) , n∈ℤ, k∈ℕ

also:

\( \begin{pmatrix} n+k-1\\k \end{pmatrix} \)=\( \frac{(n+k-1)(n+k-2)...(n+k-k)}{k!} \)=\( \frac{(n+k-1)(n+k-2)...(n)}{k!} \)=(-1)^k\( \frac{(-n-k+1)(-n-k+2)...(-n)}{k!} \)

=(-1)^k\( \begin{pmatrix} -n\\k \end{pmatrix} \)

=laut Def

= ziehe aus jedem der k Faktoren -1 heraus

= lies rückwärts