Potenzreihenentwicklung ex*sin(x)/cos(x) =..

Question

Zeigen Sie, dass die folgende Potenzreihenentwicklung gilt:

e^x*sin(x)/cos(x) = x + x² + 5/6 *x² + 1/2 x⁴....

für ein hinreichendes kleines |x|.

Mit der Taylorreihe ausgehend von einen hinreichendes kleinen x0 bekomme ich ein anderes Ergebnis.

Hat jemand vielleicht noch einen anderen Ansatz?

Answer 1

wolframalpha hat das Ergebnis auch:

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=b05254d52171feaa742…

Answer 2

$$\mathrm e^x\cdot\tan(x)=(1+x+\tfrac12x^2+\tfrac16x^3+\dots)\cdot(x+\tfrac13x^3+\dots)\\=x+x^2+\tfrac56x^3+\tfrac12x^4+\dots\,.$$

Answer 3

Das Aufgabenblatt hat recht! Wo ist deine Abweichung?

f(0) = 0

f'(0)=1(0+1)/1=1

f''(0)=1(0+2+0)/1=2

f'''(0)=1(3+0+2+0)/1=5

f''''(0)=1(7+0+2+0+3+0)/1=12

Taylor: g(x)= x + x² +5x³/6 + x⁴/2 ...