Potenzreihenentwicklung des Integrals von sin(t^2)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung von S(x) = ∫sin(t^2) dt (untere Int.Grenze = 0, obere Int.Grenze = x) um den Entwicklungspunkt a = 0.

Problem/Ansatz:

Hallo erstmal :)

Also es gibt schon bei der Aufgabenstellung  Probleme. Liege ich richtig, dass ich hier ein unendlich langes Polynom finden soll, dass genau S(x) repräsentiert? Wenn ja, dann ist hier mein Ansatz:

Wir haben sin(x) in der Vorlesung durch sin(x) = (n=0 -> unendlich) ∑(-1)^n (x^(2n+1))/(2n+1)! eingeführt. Diese Definition habe ich einfach in mein Problem eingesetzt, also:

S(x) = ∫ ∑(-1)^n ((t^2)^(2n+1))/(2n+1)!

im nächsten Schritt vertausche ich das Integral- mit dem Summenzeichen und rechne einfach gliedweise das Integral aus. Ist das dann die Potenzreihenentwicklung? Ich habe hier ja noch nichtmal meinen Entwicklungspunkt benutzt. Ich bin absolut verwirrt und weiß nicht so recht was ich machen soll.

Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe schonmal vorab!!

Answer 1

im nächsten Schritt vertausche ich das Integral- mit dem Summenzeichen und rechne einfach gliedweise das Integral aus.

Bin mir nicht sicher, dass man das bei unendlichen Summen machen darf !

Ich würde eher so vorgehen, um das etwa mittels Taylorentwicklung um x_o=0 zu bekommen:

Dazu brauchst du S(0) = Integral von 0 bis 0 … = 0

S ' (X) = sin(x^2) (Abl. und Int. heben sich auf.)  ==>   S ' (0) = 0

S ' '(x) = 2x*cos(x^2)   ==>   s ' ' (0) = 0

S ' ' ' (x) = 2*cos(x^2) -  4x^2*sin(x^2)   ==>    s ' ' ' (0) = 2

S ⁽⁴⁾ (x) = -8x^3 *cos(x^2) - 12x*sin(x^2)    ==>   S ⁽⁴⁾ (0) = 0

etc .     vielleicht sieht man da eine Regelmäßigkeit ???

Comments

Ich bin mir sicher, dass man das bei unendlichen Summen machen darf, das haben wir in der Übung zu den Aufgaben besprochen.

Und ja die Taylorentwicklung könnte ich machen, aber eigentlich war die Aufgabe davor schon die zu Taylorreihen.. Das Problem mit der Regelmäßigkeit ist halt, dass das kein Beweis ist nur weil man eine Regelmäßigkeit entdeckt..