Ungleichung für zwei pos. reelle Zahlen a und b zeigen

Question

ich soll zeigen, dass für zwei beliebige nicht-negative reelle Zahlen a und b gilt: \(\sqrt{ab}\le(a+b)/2\).

und viele Grüße

Patty

Answer 1

Aloha :)

Aus den nicht-negativen reellen Zahlen \(a\) und \(b\) kannst du die Wurzel ziehen. Mit der zweiten binomischen Formel können wir daher schreiben:$$0\le\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2=\left(\sqrt a\right)^2-2\sqrt{ab}+\left(\sqrt b\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b$$Addieren wir ganz links und ganz rechts \(2\sqrt{ab}\), bekommen wir:$$2\sqrt{ab}\le a+b\quad\Leftrightarrow\quad\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$$

Comments

Oh Mann, da hätte ich auch drauf kommen können... Danke fürs Zeigen :)