Positive Semidifinitheit von A mult. mit A hermitisch

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Eine Matrix } M \in \mathbb{K}^{n \times n} \text { heißt positiv semidefinit, falls } x^{H} M x \geq 0 \text { für alle } x \in \mathbb{K}^{n} \text { . }} \\ {\text { Überprüfen Sie, ob für jede Matrix } A \in \mathbb{K}^{n \times m} \text { die Matrizen } A^{H} A \text { und } A A^{H} \text { positiv }} \\ {\text { semidefinit sind. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Also $$x^{H} A^{H}Ax \geq 0$$ und $$x^{H}AA^{H}x \geq 0$$ komme gerade noch zu keinen Ansatz, wie ich vorgehen kann.

Denkanstoß wäre gut.

Comments

Heißt der Namensgeber nicht "Hermite"? Und sollte es dann nicht auch "hermitesch" oder vielleicht "hermite'sch" heißen?

Answer 1

Aloha :)

$$x^H(A^HA)x=(x^HA^H)(Ax)=(Ax)^H(Ax)=||Ax||^2\ge0$$$$x^H(AA^H)x=(x^HA)(A^Hx)=(A^Hx)^H(A^Hx)=||A^Hx||^2\ge0$$

Comments

Danke, aber kannst du das näher erklären? Verstehe nicht wieso man das so umstellen kann.

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Die erste Umstellung ist jeweils das Assoziativ-Gesetz.

Die zweite Umstellung folgt der Regel: \((AB)^H=B^HA^H\).

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ok, und die Letzte?

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Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ist \(\vec y^H\cdot\vec x\). Wenn \(\vec x=\vec y\) ist, dann ist \(\vec x^H\vec x=||\vec x||^2\) die Länge des Vektors und damit \(\ge0\). Da die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor wieder ein Vektor ist, gilt die letzte Beziehung.