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Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Eine Matrix } M \in \mathbb{K}^{n \times n} \text { heißt positiv semidefinit, falls } x^{H} M x \geq 0 \text { für alle } x \in \mathbb{K}^{n} \text { . }} \\ {\text { Überprüfen Sie, ob für jede Matrix } A \in \mathbb{K}^{n \times m} \text { die Matrizen } A^{H} A \text { und } A A^{H} \text { positiv }} \\ {\text { semidefinit sind. }}\end{array} $$


Problem/Ansatz:

Also $$x^{H} A^{H}Ax \geq 0$$ und $$x^{H}AA^{H}x \geq 0$$ komme gerade noch zu keinen Ansatz, wie ich vorgehen kann.

Denkanstoß wäre gut.

von

Heißt der Namensgeber nicht "Hermite"? Und sollte es dann nicht auch "hermitesch" oder vielleicht "hermite'sch" heißen?

1 Antwort

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Aloha :)

$$x^H(A^HA)x=(x^HA^H)(Ax)=(Ax)^H(Ax)=||Ax||^2\ge0$$$$x^H(AA^H)x=(x^HA)(A^Hx)=(A^Hx)^H(A^Hx)=||A^Hx||^2\ge0$$

von 16 k

Danke, aber kannst du das näher erklären? Verstehe nicht wieso man das so umstellen kann.

Die erste Umstellung ist jeweils das Assoziativ-Gesetz.

Die zweite Umstellung folgt der Regel: \((AB)^H=B^HA^H\).

ok, und die Letzte?

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren ist \(\vec y^H\cdot\vec x\). Wenn \(\vec x=\vec y\) ist, dann ist \(\vec x^H\vec x=||\vec x||^2\) die Länge des Vektors und damit \(\ge0\). Da die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor wieder ein Vektor ist, gilt die letzte Beziehung.

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