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Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Sei } M=\{\{0,1,3\},\{0,2,3,5\},\{0,2,3\},\{0,3,4,5\}\} . \text { Bestimmen Sie jeweils die folgenden Mengen: }} \\ { \cap M \text { und } \cup M .} \\ { N=\left\{x \in 2^{\cup M} | \text { Für jedes } m \in M \text { gilt } x \subseteq m\right\}} \\ { \cup N}\end{array}$$


Problem/Ansatz:

Ich hätte für die ersten 3 Mengen folgendes gedacht:

  ∩M = {0, 3}

 ∪M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

 N = {1, 2, 4}


Bei ∪N weiß ich aber ehrlich gesagt nicht wirklich, wie diese Menge aussehen soll.

Wäre dankbar für eine Erklärung und eventuelle Verbesserungen der ersten Mengen!

Avatar von

N ist eine Menge von Mengen so, dass jedes Element von N Teilmenge eines Elements von M ist.

Bei ∪N weiß ich aber ehrlich gesagt nicht wirklich, wie diese Menge aussehen soll.

Man bildet ∪N genauso, wie du ja richtig auch ∪M gebildet hast.
Dazu muss man natürlich erst mal N bestimmen, aber wie man sieht, bist du nicht der Einzige, der damit Schwierigkeiten hat.

Ich verstehe die Angabe nicht. Was bedeuten die schwarzen Punkte?

Die Punkte bedeuten nichts weiter, ist nur eine Auflistung der Mengen.

Die Minus weiter unten vermutlich auch. Ich nehme die mal weg, damit sie nicht verwirren.

1 Antwort

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Beste Antwort

∩M und ∪M hast du korrekt bestimmt.

Die Elemente von N sind Elemente von 2∪M. Das steht unmittelbar in der Definition von N. Die Menge 2∪M ist die Potenzmenge von ∪M. Deren Element sind Teilmengen von ∪M. Die Menge N ist also eine Menge von Teilmengen von ∪M.

Welche Teilmengen von ∪M Elemente von N sind, steht rechts von dem "|". BTW, N hat 4 Elemente.

Avatar von 105 k 🚀

Ich verstehe ehrlich gesagt immer noch nicht wirklich, wie N demnach aussieht.


Etwa so?

N = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}}

N = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}}

{1,2} ist nicht Teilmenge von {0, 1, 3}. Also ist {1,2} nicht Element von N.

Damit x Element von N ist, muss x Teilmenge von jedem m∈M sein.

Also

        x ∈ N ⇔ (x ⊆ {0,1,3} ∧ x ⊆ {0,2,3,5} ∧ x ⊆ {0,2,3} ∧ x ⊆ {0,3,4,5})

Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, müsste N folgendermaßen lauten:

N = {{}, {0}, {3}, {0, 3}}

und folglich ∪N = {{}, 0, 3}

oder?

Dein N ist jetzt richtig, aber ∪N = {0, 3}.

Perfekt, vielen Dank!

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