Zeigen Sie, dass sich die Verknüpfungen + und · , die C zu einem Körper machen
auf K × K einschränken lassen:
Musst also nur zeigen: Das Ergebnis deiner solchen Verknüpfung ist wieder in K
Seien also x,y aus K. Dann gilt : Es gibt a,b,c,d ∈ℚ mit
x=a+i√2 * b und y=c+i√2 * d
==> x +|K×K y = (a+i√2 * b) + (c+i√2 * d= (Gesetze in C anwenden !)
= (a+c) + i√2 *(b+d)
und mit a,b,c,d ∈ℚ sind auch a+c und b+d aus Q, also ist das
Verknüpfungsergebnis in K.
Für Multiplikation entsprechend.
b) Abgeschlossenheit ist in a) gezeigt.
Da alles in C spielt sind Assoziativität etc. eh erfüllt.
Das additive inverse von x=a+i√2 * b ist
-a+i√2 *(- b) und da -a und -b wieder in Q sind, klappt das auch.
multiplikatives Inverses von a+i√2 * b ( ≠0, also a ≠0 oder b ≠0 #)
Betrachte dazu ( a+i√2 * b ) * ( c+i√2 * d ) = 1
ac + i√2 * bc + i√2 *ad + (i√2 )^2* bd = 1
ac + i√2 * bc + i√2 *ad -2 bd = 1
ac -2 bd + i√2 * (bc+ad)= 1
==> ac -2 bd = 1 und bc+ad = 0
c = ( 1+2bd ) / a [ falls a ≠0]
==> b ( 1+2bd ) / a+ad = 0
==> d = -b / (a^2 + 2b^2 ) Nenner ungleich 0 wegen #.
Damit dann c = a / (a^2 + 2b^2) und damit hat man (für den Fall a ≠0
rationale Werte für c und d, also ist das multiplikative Inverse auch in K.
Im Fall a=0 ist zu betrachten :
i√2 * b * ( c+i√2 * d ) = 1
<=> i√2 * bc - 2 bd = 1
<=> bc = 0 und - 2 bd = 1 . Da wegen # nun b≠0 ist
==> c = 0 und d = -1 / 2b
also ist 0 +i√2 *( -1 / 2b ) das Inverse und offenbar auch in K.
c) K ist kein Unterraum; denn wenn man z.B. z = 0 +i√2 ∈ K
mit √3 ∈ℂ multipliziert ist das Ergebnis nicht in K.
