Aufgabe:
∑k=−1n−1(nk)=∑k=0n(nk)−(nn)+(n−1) \sum \limits _{k=-1}^{n-1}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\quad \sum \limits _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {-1}\end{array}\right) k=−1∑n−1(nk)=k=0∑n(nk)−(nn)+(n−1)
Problem/Ansatz:
Kann mir irgendwer die Rechenregeln nennen, die hier verwendet wurden? Ich weiß nur, dass beim Verschieben des Indexes "n über k-1" rauskommen müsste... aber woher kommt der Rest?
Aloha :)
∑k=−1n−1(nk)=∑k=0n−1(nk)+(n−1)=∑k=0n−1(nk)+(nn)−(nn)⏟=0+(n−1)\sum\limits_{k=-1}^{n-1}\binom{n}{k}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}+\binom{n}{-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}+\underbrace{\binom{n}{n}-\binom{n}{n}}_{=0}+\binom{n}{-1}k=−1∑n−1(kn)=k=0∑n−1(kn)+(−1n)=k=0∑n−1(kn)+=0(nn)−(nn)+(−1n)∑k=−1n−1(nk)=∑k=0n−1(nk)+(nn)⏟=∑k=0n(nk)−(nn)+(n−1)=∑k=0n(nk)−(nn)+(n−1)\phantom{\sum\limits_{k=-1}^{n-1}\binom{n}{k}}=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}+\binom{n}{n}}_{=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}}-\binom{n}{n}+\binom{n}{-1}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}-\binom{n}{n}+\binom{n}{-1}k=−1∑n−1(kn)==k=0∑n(kn)k=0∑n−1(kn)+(nn)−(nn)+(−1n)=k=0∑n(kn)−(nn)+(−1n)
Hui, vielen lieben Dank :3
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