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Aufgabe:

Erklären Sie, warum in der allgemeinen binomischen Formel
\( (a+b)^{n}=a^{n}+\left(\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}\right) a^{n-1} b+\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left(\begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array}\right) a b^{n-1}+b^{n} \)
der Binomialkoeffizient vorkommt? D.h. Machen Sie deutlich, was der Binomialkoeffizient berechnet und wie dies in der Berechnung von \( (a+ \) \( b)^{n} \) verwendet werden kann.


Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie man da begründen kann?

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Aloha :)

$$(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdots(a+b)}_{n\text{ Faktoren}}$$

Beim Ausmultiplizieren mittels des Distributivgesetzes wird aus jeder Klammer entweder ein \(a\) oder ein \(b\) genommen. So erhalten wir in jedem Summanden genau \(n\) Faktoren, die miteinader multipliziert werden. Dabei treten folgende Produkte auf:$$a^n\;,\;a^{n-1}b\;,\;a^{n-2}b^2\;,\;a^{n-3}b^3\;,\;\ldots\;,\;a^2b^{n-2}\;,\;ab^{n-1}\;,\;b^n$$

Mittels des Binomialkoeffizienten können wir bestimmen, wie oft jedes dieser Produkte auftaucht. \(a^n\) erhalten wir nur, wenn wir aus jeder Klammer ein \(a\) auswählen. Dafür gibt es \(\binom{n}{0}=1\) Möglichkeit. \(a^{n-1}b\) erhalten wir, wenn wir aus genau einer der \(n\) Klammern ein \(b\) auswählen und aus allen anderen Klammern ein \(a\). Dafür gibt es \(\binom{n}{1}=n\) Möglichkeiten. \(a^{n-2}b\) erhalten wir, wenn wir aus genau zwei der \(n\) Klammern ein \(b\) auswählen und aus allen anderen Klammern ein \(a\). Dafür gibt es \(\binom{n}{2}\) Möglichkeiten... Diese Feststellung fassen wir im binomischen Lehrsatz zusammen:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$

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Beim Ausmultiplizieren wird aus jedem der \(n\) Faktoren entweder \(a\) oder \(b\) ausgewählt und miteinander multipliziert um einen Summanden der Form \(a^kb^{n-k}\) zu bekommen.

Die Anzahl der Möglichkeiten, den Summanden \(a^kb^{n-k}\) zu bekommen, ist die selbe Anzahl, wie \(k\) Zahlen aus den Zahlen von \(1\) bis \(n\) auszuwählen. Und diese Anzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten berechnet.

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