Notation bei der Definition einer Topologie?

Question

Definition einer Topologie

Nachfolgend sei \(X\) eine Menge und \(P(x)\) die Potenzmenge von \(X\).

Eine Menge \(\tau \subset P(X)\) heißt Topologie (auf X), wenn:

(1) \(\emptyset , X\in \tau\)

(2)  \(A,B\in \tau\) liefert \(A\cap B\in \tau\)

(3) Ist \(\alpha \subset \tau\), so ist auch \(\underset{A\in \alpha}{\bigcup}A\in \tau\))

Warum wird hier denn stets "\(\in\)" mit der Ausnahme von (3) verwendet? \(X\) und die leere Menge sind doch Mengen, weshalb sind sie dann hier als Elemente einer anderen Menge \(\tau\) deklariert? Sollte man hier nicht das "\(\subset\)"-Symbol verwenden? Ich habe das in der Form noch nie bewusst wahrgenommen.

Answer 1

X und die leere Menge sind doch Mengen, weshalb sind sie dann hier als Elemente einer anderen Menge τ deklariert?

Weil die Elemente von τ Mengen sind.

Die Elemente von τ sind Mengen, weil τ eine Teilmenge der Potenzmenge von X ist und die Elemente der Potenzmenge von X Teilmengen von X sind.

Beispiel. Sei X = {1,2,3}.

Dann ist P(X) = {∅, {1}, {2}, {3},{1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Sei τ = {∅, {1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}}.

Dann ist τ eine Topologie auf X.

Comments

Oh Gott, du hast recht .... haha...