Welche der folgenden Reihen sind konvergent? Berechnen Sie deren Summe!

Question

Aufgabe:

a)

\( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{3-(-2)^{3k-2}}{3^{2k-1}}} \)

b)

\( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{3^{2k-1}+(-4)^{2k+1}}{2^{4k+3}}} \)

c)

\( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{(-1)^k}\, \dfrac{k-1}{k+1} \)

d) 

\( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2+k}} \)

Problem/Ansatz:

Ich benötige euer Hilfe,da ich an dieser Aufgabe hänge. Ich habe keine Idee wie ich anfangen soll und das Skript hilft mir auch nicht weiter. Kann mir jemand erklären, wie ich vorgehen muss? Das wäre sehr nett

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Welche der folgenden Reihen sind konvergent? Berechnen deren Summe!

Stichworte: reihen,analysis,konvergent,exponenten,grenzwert

Aufgabe:

a)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{3-(-2)^{3k-2}}{3^{2k-1}}} \)

b)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{3^{2k-1}+(-4)^{2k+1}}{2^{4k+3}}} \)

c)

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(-1)} \)^k \( \frac{k-1}{k+1} \)

d) 

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k²+k}} \)

Problem/Ansatz:

leider hänge ich an dieser Aufgabe und komme nicht voran. Daher meine Frage, ob mir denn jemand einen Rechenweg vorschlagen könnte? Da mir die Skripte auch nicht viel weiterhelfen.

Vielen Dank an Euch

---

Das Nullfolgenkriterium wäre ein Anfang.

Answer 1

\( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{3-(-2)^{3k-2}}{3^{2k-1}}} \)

\( \displaystyle=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{3}{3^{2k-1}}} -\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{(-2)^{3k-2}}{3^{2k-1}}} \)

\( \displaystyle=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^{2k-2}}} -\dfrac{3}{4}\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{(-2)^{3k}}{3^{2k}}} \)

\( \displaystyle=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{1}{9^{k-1}}} -\dfrac{3}{4}\sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\dfrac{-8}{9})^k} \)

\( \displaystyle=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{1}{9^{k}}} -\dfrac{3}{4}(-1+\sum\limits_{k=0}^{\infty}{(\dfrac{-8}{9})^k)} \)

Jetzt hast du zwei geometrische Reihen, einmal mit q=1/9 und einmal mit q=(-8/9)

Die geben 9/8  bzw  9/17. Also :

\( \displaystyle= \dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{4}(-1+\dfrac{9}{17}) =\dfrac{201}{136}\)

Die 2. geht sicher ähnlich. Allerdings divergent !

c) s. Kommentar.

d) Beachte   1 / (k^2 + k) = 1/k  -   1/(k+1) , also Teleskopsumme.

Ergebnis also 1.