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Aufgabe:

Ich soll sowohl das Assoziativ- und Distributivgesetz für Matrizen beweisen.


Problem/Ansatz:

Anscheinend soll das mit dem Summen-Sigma gehen (Quelle: Google ^^), jedoch gibt es wohl auch noch eine alternative, welche (laut Dozent) mit sehr viel schreibarbeit verbunden sein soll. Genau diese "aufwendige" Methode suche ich.


Freue mich über Lösungsansätze!


Lg

von

1 Antwort

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Aloha :)

Die Methode mit de Summenzeichen ist die aufwändige. Normalerweise lässt man beim Rechnen mit Matrizen die Summenzeichen weg und verwendet die "Einstein'sche Summenkovention", dass über alle doppelt auftauchenden Indizes summiert wird. Hier die aufwändige Methode ;)

Assoziativgesetz:

Seien \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times p},C\in\mathbb{R}^{p\times q}\) gegeben. Ihre Größen sind so gewählt, dass ihr Produkt \((AB)C\) definiert ist. Zum Beweis der Assoziativität betrachten wir die \(i\)-te Zeile und \(k\)-te Spalte des Produktes. Dazu benötigen wir das allgemeine Distributivgesetz für Körper anwenden und symbolisieren dessen Anwendung durch das Symbol \(\stackrel{(D)}{=}\).$$\left[(AB)C\right]_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p(AB)_{ij}C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\left(\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}\right)C_{jk}\stackrel{(D)}{=}\sum\limits_{j=1}^p\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}C_{jk}$$$$\stackrel{(D)}{=}\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(\sum\limits_{j=1}^pB_{lj}C_{jk}\right)=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(BC\right)_{lk}=[A(BC)]_{ik}$$

Distributivgesetz:

Seien \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times p},C\in\mathbb{R}^{n\times p}\) gegeben. Dann gilt:

$$[A(B+C)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B+C)_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B_{lk}+C_{lk})$$$$=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+A_{il}C_{lk}\right)=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n A_{il}C_{lk}=(AB)_{ik}+(AC)_{ik}$$

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