Aloha :)
Wie beweisen zuerst die zweite Aussage, damit wir sie beim Beweis der ersten Aussage anwenden können:
Aussage: \(x^ny^n=(xy)^n\)
Verankerung bei \(n=0\):$$x^ny^n=x^0y^0=1\cdot1=1=(xy)^0=(xy)^n\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$x^{n+1}y^{n+1}=x^nx\,y^ny=x^ny^n\,xy\stackrel{IV}{=}(xy)^n(xy)=(xy)^{n+1}\quad\checkmark$$
Aussage: \(\left(x^n\right)^m=x^{nm}=\left(x^m\right)^n\)
Verankerung bei \(m=0\):$$\left(x^n\right)^m=\left(x^n\right)^0=1=x^0=x^{n\cdot0}=x^{n\cdot m}\quad\checkmark$$$$\left(x^n\right)^m=\left(x^n\right)^0=1=1^n=\left(x^0\right)^n=\left(x^m\right)^n\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(m\to m+1\):$$(x^n)^{m+1}=(x^n)^m\cdot(x^n)\stackrel{IV}{=}x^{nm}\cdot x^n=x^{nm+n}=x^{n(m+1)}\quad\checkmark$$$$(x^n)^{m+1}=(x^n)^m\cdot(x^n)\stackrel{IV}{=}(x^m)^n\cdot x^n=(x^m\cdot x)^n=(x^{m+1})^n\quad\checkmark$$
