Aufgabe:
benötige bitte Hilfe bei folgender Aufgabe.
Gegeben ist die Mannigfaltigkeit
M : ={(x,y,z)∈R3∣x2+y2≤1,x+y+z=1}mit der Orientierung n : M→R3 mit negativer z-Komponente und der Funktion F(x,y,z)=⎝⎛−y3x33(x2+y2)⎠⎞.
Berechnen Sie das Integral ∫M⟨⎝⎛003(x2+y2)⎠⎞,n(x,y,z)⟩dS auf zweierlei Art, nämlich
(a) direkt, indem Sie das Oberfla¨chenintegral aufstellen und lo¨sen, und (b) durch Anwendung des Integralsatzes von Stokes.
Problem/Ansatz:
Ich beginne mal mit (b): rot F=⎝⎛003(x2+y2)⎠⎞ Der Normalenvektor ist in der Aufgabe ja mit n=⎝⎛00−1⎠⎞ vorgegeben.
(rot F)⋅n=−3(x2+y2)
Also integriere ich nach dem Satz von Stokes über die Kreisscheibe A (Kreis in x-y-Ebene mit Radius 1) und erhalte:
∫A((rot F)⋅n) dS=∫02π∫01[−3(r2(cos(φ))2+r2(sin(φ))2)⋅r] drdφ=−3π
Kann ich das so machen, oder hab ich mich vertan?
Danke schonmal ;)