Wie kann ich ohne Ableitung bzw. ohne Differentialrechnung die Monotonie berechnen?

Question

Aufgabe:

Führen Sie bei der Funktion

\( f(x)=\frac{3 x^{2}+29 x+28}{x+5} \)

eine Polynomdivision durch. Ist die Funktion monoton (wachsend oder fallend) auf Ihrem maximalen Definitionsbereich? Falls nicht, welches sind die größtmöglichen Intervalle, auf welchen \( f \) monoton (wachsend oder fallend) ist?

Ansatz:

Ich habe meine Polynomdivision berechnet und bekomme 3x+14+(42/x+5) heraus.

Wie rechne ich meine maximale Definitionsbereich und Monotonie?

Answer 1

Polynomdivision hatte bei dir ein Vorzeichenfehler!

(3·x^2 + 29·x + 28)/(x + 5) = 3·x + 14 - 42/(x + 5)

Damit ist die Funktion doch in ihren zusammenhängenden Teilintervallen streng monoton steigend. An der Polstelle gibt es allerdings ein Vorzeichenwechsel von + nach -.

Comments

Danke Ihnen sehr, aber wie kann ich den maximalen Definitionsbereich berechnen, x darf nicht 5 sein oder?

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x≠-5

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Richtig. Nur 5 darfst du nicht für x einsetzen, ansonsten alles

ID = IR \ {-5}

Danke für den Fehlerhinweis.

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@coach: Vorzeichen!  -5

Answer 2

Ich habe meine Polynomdivision berechnet und bekomme f(x) = 3x+14+(42/(x+5)) heraus.

g(x) = 3x + 14 ist streng monoton wachsend.

h(x) = 42/(x+5) kannst du über diesen Summanden auch eine Aussage machen?

Wenn nicht berechne

f(x + d) - f(x) für x ≠ -5 beliebige d>0 und untersuche das Vorzeichen des Resultats.

Answer 3

Kleiner Tipp: Wenn du den Term bei Wolframalpha eingibst, findest du die dividierte Form unter "Alternate Forms". Außerdem wird der Graph angezeigt und der Definitionsbereich angegeben.