Zeigen, dass f: ℝ2 → ℝ, (x, y) ↦ xy3/ (x2 + y4) usw. stetig in (0,0) ist

Question

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Gegeben sei die Funktion

f: ℝ² → ℝ, (x, y) ↦ xy³/ (x² + y⁴), (x, y) ≠ (0,0),  | EDIT: Klammern um Nenner nachträglich ergänzt

                                0,                       (x,y) = (0,0).

Ich soll nun zeigen, dass f stetig in (0,0) ist. Soweit ich weiß, zeigt man Stetigkeit ja dadurch, dass rechtsseitiger Limes = linksseitiger Limes. Aber ich weiß nicht wie das hier funktionieren soll. Wenn ich 0 für x und y einsetze kommt natürlich immer 0 raus, aber ich fürchte so einfach ist das nicht.

Wäre über Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

$\displaystyle |f((x,y))-f((0,0))|=|\frac{xy^3}{x^2+y^4}-0|=|\frac{xy^3}{x^2+y^4}|\leq|\frac{xy^3}{2xy^2}|=\frac{|y|}2\leq\frac{\|(x,y)-(0,0)\|_2}2$

Falls dir die Abschätzungen nicht klar sind, kannst du gerne nachfragen.

Comments

vielen Dank für die Hilfe! Kurze Nachfrage: wie bist Du auf I xy³/2xy² I = IyI/2 gekommen?

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So etwas nennt man (seit Klasse 5) "kürzen".

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Das x kannst du kürzen. Zudem gilt $\displaystyle\frac{y^3}{y^2}=y^{3-2}=y$. Die 2 bleibt im Nenner stehen. Den Betrag kannst du auf Zähler und Nenner "aufteilen", also $\displaystyle |\frac y2|=\frac{|y|}{|2|}=\frac{|y|}2$, da die 2 immer positiv ist.

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Könntest du vlt die erste Abschätzung erklären von (xy³)/(x² + y⁴) auf (xy³)/(2xy²)?^^

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Es gilt $\displaystyle (x-y^2)^2\geq0$.

$\displaystyle\Leftrightarrow x^2-2xy^2+y^4\geq0$ (binomische Formel)

$\displaystyle\Leftrightarrow x^2+y^4\geq2xy^2$

$\displaystyle\Leftrightarrow\frac1{x^2+y^4}\leq\frac1{2xy^2}$

Nun mit $\displaystyle xy^3$ multiplizieren und es steht da.

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ahh danke, das ist sehr verständlich :) noch eine andere Frage, wie würde man zeigen, dass die Funktion

(yx⁴ - xy⁴)/(x² + y²)² in (0,0) stetig ist, müsste man das dann auch durch abschätzen machen?

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Das sollte auch durch Abschätzen möglich sein. Das Problem dabei ist meistens, die richtige Abschätzung zu finden.

Versuch mal mit $\displaystyle(\sqrt x-\sqrt y)^2$ weiterzukommen.

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dann käme ich auf x + y > 2$\sqrt{xy}$, aber ich weiß nicht inwiefern mir das weiterhilft :( , ich habs mit (x - y)^2 versucht und kam letztendlich auf:

$\dfrac{yx^4-xy^4}{(x^2 + y^2)^2}$ ≤ $\dfrac{yx^4-xy^4}{(2xy)^2}$ ≤ $\dfrac{yx^4-xy^4}{4x^2y^2}$ =  $\dfrac{x^2}{4y}$ -  $\dfrac{y^2}{4x}$ , ich weiß aber nicht ob das so richtig wäre, wie könnte ich denn mit ($\sqrt{x}$ -  $\sqrt{y}$ )^2 weiterkommen?^^'

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Das würde zu $\displaystyle\frac{yx^4-xy^4}{(x^2+y^2)^2}\leq\frac{yx^4-xy^4}{2xy}=\frac12(x^3-y^3)$ führen. Hier hört es bei mir aber auch auf, da ich selbst noch dieses Thema studiere ^^ Meine Idee wäre, da $\displaystyle(x,y)\rightarrow(0,0)$, dass obige Differenz gegen 0 geht und mit Schubfachprinzip $\displaystyle|f((x,y))-f((0,0))|\rightarrow0$ geht. Aber das ist mit Vorsicht zu genießen. Eventuell kann jemand anderes weiterhelfen. Vielleicht kommst du mit einer anderen Abschätzung direkt weiter, aber diese sehe ich jetzt nicht.

Answer 2

gehe zu Polarkoordinaten über und zeige, dass f gegen 0 strebt, wenn x,y -> (0,0),also r -> 0

Answer 3

Du hast Folgendes eingegeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%5E3%2Fx%5E2+%2B+y%5E4

Wenn du Folgendes meinst https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%5E3%2F%28x%5E2+%2B+y%5E4%29

musst du um den Nenner Klammern eingeben.

Comments

Habe die Klammerung vergessen. Danke für die Hilfe! =)

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Habe die Klammern nun oben ergänzt.

| EDIT: Klammern um Nenner nachträglich ergänzt

kann dort entfernt werden, falls jc2144 auch bereits mit dieser Klammer gerechnet hat.

Ähnliche ältere Frage mit anderen Zahlen übrigens hier https://www.mathelounge.de/623594/zeigen-sie-dass-f-mit-bruch-in-0-0…