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Hallo zusammen!

Gegeben sei die Funktion

f: ℝ^2 → ℝ, (x, y) ↦ xy^3/ (x^2 + y^4), (x, y) ≠ (0,0),  | EDIT: Klammern um Nenner nachträglich ergänzt

                                0,                       (x,y) = (0,0).


Ich soll nun zeigen, dass f stetig in (0,0) ist. Soweit ich weiß, zeigt man Stetigkeit ja dadurch, dass rechtsseitiger Limes = linksseitiger Limes. Aber ich weiß nicht wie das hier funktionieren soll. Wenn ich 0 für x und y einsetze kommt natürlich immer 0 raus, aber ich fürchte so einfach ist das nicht.

Wäre über Hilfe sehr dankbar!

von

3 Antworten

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Beste Antwort

\(\displaystyle |f((x,y))-f((0,0))|=|\frac{xy^3}{x^2+y^4}-0|=|\frac{xy^3}{x^2+y^4}|\leq|\frac{xy^3}{2xy^2}|=\frac{|y|}2\leq\frac{\|(x,y)-(0,0)\|_2}2\)

Falls dir die Abschätzungen nicht klar sind, kannst du gerne nachfragen.

von

vielen Dank für die Hilfe! Kurze Nachfrage: wie bist Du auf I xy^3/2xy^2 I = IyI/2 gekommen?

So etwas nennt man (seit Klasse 5) "kürzen".

Das x kannst du kürzen. Zudem gilt \(\displaystyle\frac{y^3}{y^2}=y^{3-2}=y\). Die 2 bleibt im Nenner stehen. Den Betrag kannst du auf Zähler und Nenner "aufteilen", also \(\displaystyle |\frac y2|=\frac{|y|}{|2|}=\frac{|y|}2\), da die 2 immer positiv ist.

Danke für die Hilfe! =)

Könntest du vlt die erste Abschätzung erklären von (xy^3)/(x^2 + y^4) auf (xy^3)/(2xy^2)?^^

Es gilt \(\displaystyle (x-y^2)^2\geq0\).

\(\displaystyle\Leftrightarrow x^2-2xy^2+y^4\geq0\) (binomische Formel)

\(\displaystyle\Leftrightarrow x^2+y^4\geq2xy^2\)

\(\displaystyle\Leftrightarrow\frac1{x^2+y^4}\leq\frac1{2xy^2}\)

Nun mit \(\displaystyle xy^3\) multiplizieren und es steht da.

ahh danke, das ist sehr verständlich :) noch eine andere Frage, wie würde man zeigen, dass die Funktion

(yx^4 - xy^4)/(x^2 + y^2)^2 in (0,0) stetig ist, müsste man das dann auch durch abschätzen machen?

Das sollte auch durch Abschätzen möglich sein. Das Problem dabei ist meistens, die richtige Abschätzung zu finden.

Versuch mal mit \(\displaystyle(\sqrt x-\sqrt y)^2\) weiterzukommen.

dann käme ich auf x + y > 2\( \sqrt{xy} \), aber ich weiß nicht inwiefern mir das weiterhilft :( , ich habs mit (x - y)^2 versucht und kam letztendlich auf:

\( \dfrac{yx^4-xy^4}{(x^2 + y^2)^2} \) ≤ \( \dfrac{yx^4-xy^4}{(2xy)^2} \) ≤ \( \dfrac{yx^4-xy^4}{4x^2y^2} \) =  \( \dfrac{x^2}{4y} \) -  \( \dfrac{y^2}{4x} \) , ich weiß aber nicht ob das so richtig wäre, wie könnte ich denn mit (\( \sqrt{x} \) -  \( \sqrt{y} \) )^2 weiterkommen?^^'

Das würde zu \(\displaystyle\frac{yx^4-xy^4}{(x^2+y^2)^2}\leq\frac{yx^4-xy^4}{2xy}=\frac12(x^3-y^3)\) führen. Hier hört es bei mir aber auch auf, da ich selbst noch dieses Thema studiere ^^ Meine Idee wäre, da \(\displaystyle(x,y)\rightarrow(0,0)\), dass obige Differenz gegen 0 geht und mit Schubfachprinzip \(\displaystyle|f((x,y))-f((0,0))|\rightarrow0\) geht. Aber das ist mit Vorsicht zu genießen. Eventuell kann jemand anderes weiterhelfen. Vielleicht kommst du mit einer anderen Abschätzung direkt weiter, aber diese sehe ich jetzt nicht.

+2 Daumen

gehe zu Polarkoordinaten über und zeige, dass f gegen 0 strebt, wenn x,y -> (0,0),also r -> 0

von 34 k
+1 Daumen

Du hast Folgendes eingegeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%5E3%2Fx%5E2+%2B+y%5E4

Skärmavbild 2019-11-11 kl. 16.47.46.png

Wenn du Folgendes meinst https://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%5E3%2F%28x%5E2+%2B+y%5E4%29

Skärmavbild 2019-11-11 kl. 16.49.29.png

musst du um den Nenner Klammern eingeben.

von 157 k 🚀

Habe die Klammerung vergessen. Danke für die Hilfe! =)

Habe die Klammern nun oben ergänzt.

| EDIT: Klammern um Nenner nachträglich ergänzt

kann dort entfernt werden, falls jc2144 auch bereits mit dieser Klammer gerechnet hat.

Ähnliche ältere Frage mit anderen Zahlen übrigens hier https://www.mathelounge.de/623594/zeigen-sie-dass-f-mit-bruch-in-0-0-nicht-stetig-ist

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