Gleichmächtigkeit von zwei Intervallen zeigen mit Bijektion

Question

Aufgabe:

Es soll die Gleichmächtigkeit

(a) des reellen Intervalls (-1, 1) und ℝ gezeigt werden sowie

(b) die der reellen Intervalle (a, b) und (c, d) mit a<b, c<d.

Beides soll anhand einer Bijektion erfolgen, zB anhand einer Skizze.  

Problem/Ansatz:

Es soll geklärt werden welche Nullstellen bzw. Polstellen die Funktion hat. Wenn man (a) und (b) kombiniert ist ℝ und jedes beliebige Teilintervall (a,b) gleich mächtig. Ich suche nach einem Ansatz das Problem zu lösen.    

Answer 1

Gleichmächtigkeit
(a) des reellen Intervalls (-1, 1) und ℝ

Lege den Zahlenabschnitt von -1 bis 1 auf einen Halbkreis mit dem Mittelpunkt M sowie ℝ auf eine Tangente t an den Halbkreis parallel zu seinem Durchmesser. Ein Punkt P des Halbkreises wird auf den Schnittpunkt von t mit MP abgebildet. Die Abbildung ist bijektiv.

Answer 2

Alternativ kannst Du auch die beiden Bijektionen f und g hintereinanderausfuehren.

f: (0, 1) -> (-1, 1), x -> 2x-1, und

g: (-1, 1) -> IR, x -> (1-x2)/x fuer x ^1 0 und 0 -> 0.

Die Hintereinanderausfuehrung ist ebenfalls eine Bijektion.

Das einzige, was Du ernsthaft nachrechnen musst, ist, dass g eine Bijektion ist.

Es ist sogar IR gleichmaechtig zu (a, b) fuer alle a < b, denn h: (a, b) -> (0, 1), x -> (x-a)/(b-a) ist bijektiv.

Quelle: https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=3330&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F