Zeige dass f-1(∞) eine Nullmenge ist

Question

Aufgabe:

Sei $(\Omega, Α, \mu)$ ein Maßraum und $f:\Omega \rightarrow[0,\infty]$ eine messbare Funktion mit $\int_\Omega fd\mu < \infty$.

Zeigen Sie dass $f^{-1}({\infty})$ eine Nullmenge und ${x \in \Omega |f(x) \neq 0}$ $\sigma$-endlich ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, ein Widerspruchbeweis zu führen. Mit der Annahme $$f^{-1}$$ sei keine Nullmenge. Dann kann ich ja zeigen, dass $$\mu (f^{-1}({\infty})) >0$$. Über ein $$A_k$$ aus $$\Omega$$ zeige ich dann, dass folgt $$\int_\Omega fd\mu = \infty$$. Was ein Widerspruch wäre.

Irgendwie gefällt mir dieser Beweisansatz aber nicht, ich kann nicht genau sagen, was ,ich daran stört. Gibt es eine elegantere Lösung?