Gleichung mittels Eulersche Formel beweisen

Question

Aufgabe:

$$  \sin (3 \varphi)=3 \sin \varphi-4 \sin ^{3} \varphi $$

Diese Gleichung soll bewiesen werden

(tipp: eulersche Formel)

Problem/Ansatz:

die  Formel besagt ja nichts anders als:

$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \cdot \sin x $$

bzw. diese 3 Gleichungen

$$ \begin{array}{l}\\ {\quad \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}=\cos x-\mathrm{i} \cdot \sin x} \\  {\qquad \sin x=\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)} \\ {\qquad \cos x=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)}\end{array} $$

wenn ich nun die Formel auf die Gleichung anwende kommt raus:

$$ \frac{e^{i 3\varphi}-e^{-i 3 \varphi}}{2 i}=3\left(\frac{e^{i \varphi}-e^{-i\varphi}}{2 i}\right)-4 \cdot\left(\frac{e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}}{2 i}\right)^{3} $$

wenn ich das nun weiter auflöse komme ich auf:

$$ \frac{e^{i 3\varphi}-e^{-i 3 \varphi}}{2 i}=\left(\frac{3e^{i \varphi}-3e^{-i\varphi}}{2 i}\right)- \left(\frac{4e^{3i \varphi}-4e^{-3i \varphi}}{2 i^{3}}\right) $$

Jetzt müsste ich den linken Bruch (rechts vom =) erweitern damit ich alles auf einen Bruch schreiben kann richtig? aber dannach komm ich nicht wirklich weiter.

mfg,

Answer 1

Erweitern ist nicht nötig. Vereinfache den rechten Nenner \((2i)^3= 8i\cdot i^2=-8i\).

Du hast die Klammern vergessen.

Außerdem hast du die "Klammer hoch 3" falsch aufgelöst.

\((a-b)^3=a^3- 3a^2b+3ab^2-b^3\)

\(-4 \cdot\left(\dfrac{e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}}{2 i}\right)^{3}\)

\(= -4\cdot\left(\dfrac{e^{3i \varphi}-3e^{2i \varphi}e^{-i \varphi}+3e^{i \varphi}e^{-2i \varphi}-e^{3-i \varphi}}{-8 i}\right)\)

\(= -4\cdot\left(\dfrac{e^{3i \varphi}-3e^{i \varphi}+3e^{-i \varphi}-e^{3-i \varphi}}{-8 i}\right)\)

\(=\frac{1}{2i}\cdot\left({e^{3i \varphi}-3e^{i \varphi}+3e^{-i \varphi}-e^{3-i \varphi}}\right)\)

Wenn du das jetzt in deine richtige vorletzte Zeile einsetzt, fällt die erste Klammer weg, da sie sich mit den beiden mittleren Summanden der rechten Klammer aufhebt.

Übrig bleibt genau der Term, der auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht.   :-)

Comments

Vielen Dank erstmal,

welche Klammer genau hab ich vergessen?

und warum kann (a+b)³ anwenden wenn es doch eig. (a+b/c)³ ist also ein Bruch hoch3

mfg

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\((\frac{a+b}{c})^3=\frac{(a+b)^3}{c^3}\)

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Oh ergibt sinn hahah danke dir!!

lg

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eine frage noch:

Damit ich aufs richtige ergebnis komme muss ich in meiner vorletzten Zeile: ein plus statt einem minus schreiben bei 1/2i. Wie komm ich auf das Plus? kommt das daher das ich -4 mit -8i kürze?

$$ \frac{e^{i 3 \varphi}-e^{-i 3 \varphi}}{2 i}=3\left(\frac{e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}}{2 i}\right)+\frac{1}{2 i} \cdot\left(e^{3 i \varphi}-3 e^{i \varphi}+3 e^{-i \varphi}-e^{3-i \varphi}\right) $$

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Ja, genauso muss es sein.

Answer 2

alternativ:

betrachte

(cos(x)+i*sin(x))^3 = e^{ix}^3= e^{i3x}=(cos(3x)+i*sin(3x))

Multipliziere den ersten Termen aus und vergleiche Real bzw. Imaginärteile auf beiden Seiten!